题意分析

1. 游戏规则：
   • 两人轮流选择最多$M$个足球，将其向球门方向射出。
   • 每个足球只能滚动整数倍的周长（$2\pi R$的整数倍），且射程不超过$L$厘米。
   • 无法操作者输，Alice先手。
2. 关键限制：
   • 每次射球后，足球与球门的距离必须减少$k \times 2\pi R$（$k$为正整数），且总减少量$\leq L$。

解题思路

1. 问题转化：
   • 将每个足球的初始距离$S(i)$转化为“可操作次数”：计算每个$S(i)$最多可被$2\pi R$整除的次数$C(i) = \lfloor \frac{S(i)}{2\pi R} \rfloor$。
   • 若$2\pi R > S(i)$，则$C(i)=0$（无法操作）。
2. 博弈模型：
   • 转化为取石子游戏：每堆石子数为$C(i)$，每次可选取最多$M$堆，每堆至少取$1$颗石子。
   • 当所有$C(i)$均为$0$时当前玩家输。
3. 胜负判定：
   • 若所有$C(i)$异或和（NIM和）非零且先手可强制对手进入必败态，则Alice胜；否则Bob胜。

实现步骤

1. 预处理：
   • 计算每个足球的可操作次数$C(i) = \lfloor \frac{S(i)}{2\pi R} \rfloor$。
   • 过滤$C(i)=0$的足球（无法操作）。
2. 博弈分析：
   • 若剩余有效$C(i)$数量为$0$，直接判Bob胜（Alice无法操作）。
   • 否则，按NIM游戏规则计算异或和，结合$M$的限制判断胜负：
     • 若存在某个子集的异或和可通过$M$次操作清零，则Alice胜。
3. 输出结果：
   • 根据博弈分析结果输出胜者。

代码实现

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
int n,m,l,r;
const double pi = acos(-1.0);
int a[50];
int main(){
	while(~scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&l,&r)){
		int k = l/(2*pi*r);
		for(int i=1;i<=n;i++){
			scanf("%d",&a[i]),a[i]=a[i]/(2*pi*r)+1,a[i]=a[i]%(k+1);
		}
		int flag=0;
		while(1){
			int tmp = 0;
			int end = 1;
			for(int i=1;i<=n;i++){
				tmp += a[i]%2;
				tmp %= (m+1); 
				a[i]/=2;
				if(a[i])end=0;
			}
			if(tmp){
				flag=1;
				break;
			}
			if(end)break;
		}
		puts(flag?"Alice":"Bob");
	}
	return 0;
} 
//2进制下对2取余是nim博弈，对其他取余是num-k博弈