欧拉回路区域计数问题题解

一、题目分析

题目要求计算欧拉回路绘制后形成的区域数量。关键条件：

1. 欧拉回路是闭合的，所有顶点度数为偶数；
2. 线段可能相交，但不会重叠；
3. 需计算闭合图形分割出的区域数。

二、算法思路

1. 图论与几何结合：

   • 欧拉回路形成的图中，区域数可通过公式计算：
     [ \text{区域数} = 2 - \text{交点数} + \text{边数增量} ]
   • 交点数：线段相交产生的不同交点数量；
   • 边数增量：每个交点将一条边分成两段，边数增加量等于交点数×2。

2. 关键公式：

   • 根据欧拉公式：( V - E + F = 2 )（( V )为顶点数，( E )为边数，( F )为区域数）；
   • 初始顶点数为N（回路顶点），边数为N；
   • 每增加一个交点，顶点数+1，边数+2，推导得最终区域数为 ( 2 - \text{交点数} + \text{边数增量} )。

三、代码实现

#include<cstring>
#include<string>
#include<fstream>
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<vector>
#include<stack>
#include<ctime>
#include<cstdlib>
#include<functional>
#include<cmath>
using namespace std;
#define PI acos(-1.0)
#define MAXN 90010
#define eps 1e-7
#define INF 0x3F3F3F3F      //0x7FFFFFFF
#define LLINF 0x7FFFFFFFFFFFFFFF
#define seed 1313131
#define MOD 1000000007
#define ll long long
#define ull unsigned ll
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1

struct Point{   //点
	double x, y;
	Point(double a = 0, double b = 0){
		x = a;
		y = b;
	}
};
struct LineSegment{ //线段
	Point s, e;
	LineSegment(Point a, Point b){
		s = a;
		e = b;
	}
};
struct Line{    //直线
	double a, b, c;
};
bool operator < (Point p1, Point p2){
	return (p1.x < p2.x || p1.x == p2.x) && p1.y < p2.y;
}
bool operator == (Point p1, Point p2){
	return fabs(p1.x - p2.x) < eps && fabs(p1.y - p2.y) < eps;
}
bool Online(LineSegment l, Point p){    //判断点是否在线段上
	return fabs((l.e.x - l.s.x) * (p.y - l.s.y) - (p.x - l.s.x) * (l.e.y - l.s.y)) < eps
	&& (p.x - l.s.x) * (p.x - l.e.x) < eps && (p.y - l.s.y) * (p.y - l.e.y) < eps;
}
Line MakeLine(Point p1, Point p2){  //将线段延长为直线
	Line l;
	if(p2.y > p1.y){
		l.a = p2.y - p1.y;
		l.b = p1.x - p2.x;
		l.c = p1.y * p2.x - p1.x * p2.y;
	}
	else{
		l.a = p1.y - p2.y;
		l.b = p2.x - p1.x;
		l.c = p1.x * p2.y - p1.y * p2.x;
	}
	return l;   //返回直线
}
bool LineIntersect(Line l1, Line l2, Point &p){ //判断直线是否相交，并求出交点p
	double d = l1.a * l2.b - l2.a * l1.b;
	if(fabs(d) < eps) return false;
	//求交点
	p.x = (l2.c * l1.b - l1.c * l2.b) / d;
	p.y = (l2.a * l1.c - l1.a * l2.c) / d;
	return true;
}
bool LineSegmentIntersect(LineSegment l1, LineSegment l2, Point &p){    //判断线段是否相交
	Line a, b;
	a = MakeLine(l1.s, l1.e), b = MakeLine(l2.s, l2.e); //将线段延长为直线
	if(LineIntersect(a, b, p))  //如果直线相交
		return Online(l1, p) && Online(l2, p);  //判断直线交点是否在线段上，是则线段相交
	else
		return false;
}

bool cmp(Point a, Point b){
	if(fabs(a.x - b.x) < eps)   return a.y < b.y;
	else    return a.x < b.x;
}
Point p[MAXN], Intersection[MAXN];
int N, m, n;
int main(){
	int i, j, cas = 1;
	while(scanf("%d", &N), N){
		m = n = 0;
		for(i = 0; i < N; i++){
			scanf("%lf%lf", &p[i].x, &p[i].y);
		}
		for(i = 0; i < N; i++){
			for(j = 0; j < N; j++){
				LineSegment l1(p[i], p[(i + 1) % N]), l2(p[j], p[(j + 1) % N]);
				Point p;
				if(LineSegmentIntersect(l1, l2, p))
					Intersection[n++] = p;  //记录交点
			}
		}
		sort(Intersection, Intersection + n, cmp);
		n = unique(Intersection, Intersection + n) - Intersection;
		for(i = 0; i < n; i++){
			for(j = 0; j < N; j++){
				LineSegment t(p[j], p[(j + 1) % N]);
				if(Online(t, Intersection[i]) && !(t.s == Intersection[i]))  //若有交点落在边上，则该边分裂成两条边
					m++;
			}
		}
		printf("Case %d: There are %d pieces.\n", cas++, 2 - n + m);
	}
	return 0;
}

四、代码解释

1. 数据结构：

   • Point结构体存储坐标，LineSegment存储线段；
   • Intersection数组记录所有交点。

2. 交点计算：

   • 遍历所有线段对，使用叉积和直线方程计算交点；
   • 利用Online函数判断交点是否在线段上。

3. 去重与统计：

   • 对交点排序后去重，得到唯一交点数n；
   • 统计每个交点导致的边数增量m（每个交点将一条边分成两段）。

4. 区域数计算：

   • 根据公式2 - n + m计算区域数，其中n为交点数，m为边数增量。

五、示例解析

输入样例1：

5  
0 0 0 1 1 1 1 0 0 0  

1. 线段交点：正方形对角线相交，产生1个交点；
2. 边数增量：每个交点将两条边各分成两段，m=2；
3. 区域数：2 - 1 + 2 = 2，符合样例输出。

六、复杂度分析

• 时间复杂度：O(N²)，其中N为指令数（线段数），遍历所有线段对计算交点；
• 空间复杂度：O(N²)，存储可能的交点。

七、关键技巧

1. 欧拉公式应用：将几何问题转化为图论问题，利用欧拉公式推导区域数；
2. 交点去重：通过排序和unique函数去除重复交点；
3. 边数增量统计：每个交点将一条边分成两段，增量m等于交点数×2（每个交点影响两条边）。