解题思路

这道题要求根据平面上的三个不共线的点，计算通过这三个点的唯一圆的周长。关键在于找到圆心和半径，然后用公式 ( C = 2\pi r ) 计算周长。

步骤 1：理解几何条件

• 三个不共线的点可以唯一确定一个圆。
• 圆心是这三个点构成的三角形的外心（即三条垂直平分线的交点）。
• 半径就是圆心到任意一个给定点的距离。

步骤 2：计算圆心（外心）

设三个点为 ( A(x_1, y_1) ), ( B(x_2, y_2) ), ( C(x_3, y_3) )，我们需要找到圆心 ( (x_0, y_0) )。

方法 1：求两条垂直平分线的交点

1. 计算 AB 的中点和斜率

   • 中点 ( M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) )
   • AB 的斜率 ( m_{AB} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} )（如果 ( x_1 \neq x_2 )）
   • AB 的垂直平分线斜率 ( m_{\perp AB} = -\frac{1}{m_{AB}} )（如果 AB 不水平/垂直）

2. 计算 AC 的中点和斜率

   • 中点 ( N = \left( \frac{x_1 + x_3}{2}, \frac{y_1 + y_3}{2} \right) )
   • AC 的斜率 ( m_{AC} = \frac{y_3 - y_1}{x_3 - x_1} )（如果 ( x_1 \neq x_3 )）
   • AC 的垂直平分线斜率 ( m_{\perp AC} = -\frac{1}{m_{AC}} )

3. 求两条垂直平分线的交点（圆心）

   • 解方程组： [ \begin{cases} y - M_y = m_{\perp AB} (x - M_x) \ y - N_y = m_{\perp AC} (x - N_x) \end{cases} ]
   • 特殊情况处理（如某条边水平或垂直）：
     • 如果 AB 是垂直的（( x_1 = x_2 )），则 AB 的垂直平分线是水平线 ( y = M_y )。
     • 如果 AB 是水平的（( y_1 = y_2 )），则 AB 的垂直平分线是垂直线 ( x = M_x )。

方法 2：解圆的方程（推荐）

圆的方程可以表示为： [ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 ] 由于 ( A ), ( B ), ( C ) 都在圆上，代入得到： [ \begin{cases} (x_1 - x_0)^2 + (y_1 - y_0)^2 = r^2 \ (x_2 - x_0)^2 + (y_2 - y_0)^2 = r^2 \ (x_3 - x_0)^2 + (y_3 - y_0)^2 = r^2 \end{cases} ] 通过前两个方程相减，可以消去 ( r^2 )，得到线性方程： [ (x_1^2 - x_2^2) + (y_1^2 - y_2^2) - 2x_0(x_1 - x_2) - 2y_0(y_1 - y_2) = 0 ] 同理，用第 1 和第 3 个方程相减，得到另一个线性方程： [ (x_1^2 - x_3^2) + (y_1^2 - y_3^2) - 2x_0(x_1 - x_3) - 2y_0(y_1 - y_3) = 0 ] 解这个二元一次方程组即可求出 ( x_0 ) 和 ( y_0 )。

步骤 3：计算半径

圆心 ( (x_0, y_0) ) 确定后，半径 ( r ) 就是圆心到任意一点的距离，例如： [ r = \sqrt{(x_1 - x_0)^2 + (y_1 - y_0)^2} ]

步骤 4：计算周长

周长公式： [ C = 2 \pi r ] 其中 ( \pi ) 取 3.141592653589793。

步骤 5：处理输入输出

• 输入：读取 6 个浮点数 ( x_1, y_1, x_2, y_2, x_3, y_3 )。
• 输出：计算周长并四舍五入到 2 位小数。

c++代码

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <iomanip>
using namespace std;

const double PI = 3.141592653589793;

int main() {
    double x1, y1, x2, y2, x3, y3;
    while (cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> x3 >> y3) {
        // 计算圆心 (x0, y0)
        double A = x2 - x1, B = y2 - y1, C = x3 - x1, D = y3 - y1;
        double E = A * (x1 + x2) + B * (y1 + y2);
        double F = C * (x1 + x3) + D * (y1 + y3);
        double G = 2 * (A * (y3 - y1) - B * (x3 - x1));
        
        if (G == 0) {
            // 三点共线
            continue;
        }
        
        double x0 = (D * E - B * F) / G;
        double y0 = (A * F - C * E) / G;
        
        // 计算半径
        double dx = x1 - x0, dy = y1 - y0;
        double r = sqrt(dx * dx + dy * dy);
        
        // 计算周长
        double circumference = 2 * PI * r;
        
        // 输出，保留 2 位小数
        cout << fixed << setprecision(2) << circumference << endl;
    }
    return 0;
}