分析题意与解题方法

题目背景

给定一个二维数组 arr 和两个变量 k 和 n，程序通过多次嵌套循环计算了数组中某些元素的值，并最终输出某个特定列的总和。

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代码功能分解

初始化部分 (ini() 函数)

1. 定义了一个二维数组 arr，大小为 $5 \times \text{Maxn}$。
2. 清空数组的所有元素为 $0$。
3. 嵌套循环填充数组的部分值：
   • 第二行 ($arr[2]$) 的每个元素通过公式 $\text{arr}[2][i] += \min(i, j) + 1$ 累加。
   • 第三行 ($arr[3]$) 的每个元素通过公式 $\text{arr}[3][i] += (\min(i, j) + 1) \cdot \text{arr}[2][j]$ 累加。
   • 第四行 ($arr[4]$) 的每个元素通过公式 $\text{arr}[4][i] += (\min(i, j) + 1) \cdot \text{arr}[3][j]$ 累加。

主函数部分

1. 循环读取输入的 $n$ 和 $k$，直到文件结束。
2. 调用 ini() 函数初始化数组。
3. 计算第 $n$ 行所有元素的总和，并输出结果。

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关键公式推导

第二行计算

$$\text{arr}[2][i] = \sum_{j=0}^{k-1} (\min(i, j) + 1) $$

解释：

• 对于固定的 $i$，$\min(i, j)$ 表示 $i$ 和 $j$ 中较小的那个值，加上 $1$ 后累加。

第三行计算

$$\text{arr}[3][i] = \sum_{j=0}^{k-1} (\min(i, j) + 1) \cdot \text{arr}[2][j] $$

解释：

• 第三行依赖第二行的结果，通过逐项乘积后求和。

第四行计算

$$\text{arr}[4][i] = \sum_{j=0}^{k-1} (\min(i, j) + 1) \cdot \text{arr}[3][j] $$

解释：

• 第四行依赖第三行的结果，同样通过逐项乘积后求和。

总和计算

最终需要计算第 $n$ 行的总和：

$$\text{sum} = \sum_{i=0}^{k-1} \text{arr}[n][i]$$

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解题方法总结

1. 输入解析：每次读取 $n$ 和 $k$。
2. 初始化数组：调用 ini() 函数，按公式逐步填充数组。
3. 计算总和：对第 $n$ 行的所有元素求和并输出。

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示例运行

假设输入如下：

2 3

程序会依次计算 $arr[2], arr[3], arr[4]$，然后输出第 $2$ 行的总和。

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代码展示

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>

#define Min(a1, b1) ((a1) > (b1) ? (b1) : (a1))
using namespace std;

const int Maxn = 5010;
long long arr[5][Maxn];
int k, n;

void ini() {
    memset(arr, 0, sizeof(arr));
    for (int i = 0; i < k; ++i) {
        for (int j = 0; j < k; ++j) {
            arr[2][i] += Min(i, j) + 1;
        }
    }
    for (int i = 0; i < k; ++i) {
        for (int j = 0; j < k; ++j) {
            arr[3][i] += (Min(i, j) + 1) * arr[2][j];
        }
    }
    for (int i = 0; i < k; ++i) {
        for (int j = 0; j < k; ++j) {
            arr[4][i] += (Min(i, j) + 1) * arr[3][j];
        }
    }
}

int main(void) {
    while (scanf("%d%d", &n, &k) != EOF) {
        ini();
        long long sum = 0;
        for (int i = 0; i < k; ++i) {
            sum += arr[n][i];
        }
        cout << sum << endl;
    }
    return 0;
}