解题思路：

问题转化：

将圆上$2n$个点配对问题转化为卡塔兰数计算

需要处理$n$=$1$到$100$的大数计算

高精度设计：

选择BASE=$10000$平衡计算效率和存储空间

采用数组模拟大数运算

乘法和除法都基于万进制实现

关键算法：

乘法：从低位到高位逐位相乘处理进位

除法：从高位到低位逐位处理余数

递推计算：确保每一步都精确无误差

解题方法：

高精度处理：

使用BASE=$10000$的万进制存储大数

每个数字用长度为$101$的数组表示（可存储最多$400$位数）

采用倒序存储（$a[n][100]$存储最低$4$位）

递推计算：

初始化前3项：$h(1)=1$, $h(2)=2$, $h(3)=5$

使用递推公式：$h(n)$ = $h(n-1)×(4n-2)/(n+1)$

分两步计算：先乘$(4n-2)$，再除$(n+1)$

输入输出处理：

预处理所有$1$-$100$的结果

读取输入直到$-1$结束

输出时跳过前导零，保持$4$位格式

C++代码实现：

#include<iostream>
#include<string.h>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define BASE 10000
int a[101][101];
void multiply(int k,int num)
{               //乘法
    int ans=0;
    for (int i=100;i>=0;i--)
    {
        ans+=a[k-1][i]*num;
        a[k][i]=ans%BASE;
        ans/=BASE;
    }
}
void devide(int k,int num)
{               //除法
    int div=0;
    for (int i=0;i<=100;i++)
    {
        div=div*BASE+a[k][i];
        a[k][i]=div/num;
        div%=num;
    }
}
void init()
{
    memset(a,0,sizeof(a));
    a[1][100]=1;
    a[2][100]=2;
    a[3][100]=5;
    int num;
    for (int i=4;i<=100;i++)
    {                   //公式h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1)；
        num=(4*i-2);
        multiply(i,num);
        num=i+1;
        devide(i,num);
    }
}
int main()
{
    int n;
    init();
    while (~scanf("%d",&n)&&n!=-1)
    {
        int pos;
        for (int i=100;i>=0;i--)
            if (!a[n][i])           //倒着遍历，因为数字长度不是太多，毕竟只是到n的上限是100
            {
                pos=i+1;
                break;
            }
            printf("%d",a[n][pos]);
            for(int i=pos+1;i<=100;i++)
                printf("%04d",a[n][i]);        //保证与base的长度相同，因为可能会有0在里边
                printf("\n");
    }
 
    return 0;
}