解题思路

1. 输入处理
   读取输入的质数p和字符串s，并将字符串转换为对应的数值数组f。对于字符串中的字符，如果为'*'，则对应值为0；否则，字符'a'对应值为1，依此类推。

2. 拉格朗日插值法
   对于每个字符位置m，计算其对应的基多项式。拉格朗日插值法的核心是通过分母和分子多项式的计算，得到每个基多项式的系数。分母为所有(m - j)的乘积，分子为线性因子的乘积。

3. 模运算处理
   在质数模p下进行多项式乘法和逆元计算，确保所有运算都在模p下进行。逆元通过费马小定理计算，即a^(p-2) mod p。

4. 系数累加
   将每个基多项式的贡献累加到结果数组a中，最终得到多项式系数。

5. 结果输出
   输出最终的整数序列，确保所有数值在模p下正确。

代码实现

#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
using namespace std;

// 计算模幂，处理大数幂运算的模运算
int mod_pow(int base, int exp, int mod) {
    int result = 1;
    base %= mod;
    while (exp > 0) {
        if (exp % 2 == 1) {
            result = (result * (long long)base) % mod;
        }
        base = (base * (long long)base) % mod;
        exp /= 2;
    }
    return result;
}

int main() {
    int N;
    cin >> N; // 读取测试用例数量
    while (N--) {
        int p; // 质数p
        string s; // 输入字符串
        cin >> p >> s;
        int n = s.size(); // 字符串长度
        vector<int> f(n); // 将字符串转换为数值数组
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            if (s[i] == '*') {
                f[i] = 0; // 特殊字符'*'对应值为0
            } else {
                f[i] = s[i] - 'a' + 1; // 字符'a'对应值为1，依此类推
            }
        }
        vector<int> a(n); // 初始化结果数组
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            a[i] = 0;
        }
        for (int m = 1; m <= n; ++m) {
            // 计算拉格朗日插值法中的分母
            int denominator = 1;
            for (int j = 1; j <= n; ++j) {
                if (j == m) continue; // 跳过m自身
                denominator = (denominator * (long long)(m - j)) % p;
            }
            denominator = (denominator + p) % p; // 确保分母为正
            int inv_denominator = mod_pow(denominator, p - 2, p); // 计算分母的逆元
            // 展开分子多项式
            vector<int> current_coeff(1, 1); // 初始多项式系数为1
            for (int j = 1; j <= n; ++j) {
                if (j == m) continue; // 跳过m自身
                vector<int> new_coeff(current_coeff.size() + 1, 0); // 新的多项式系数
                for (int k = 0; k < current_coeff.size(); ++k) {
                    new_coeff[k] = (new_coeff[k] + ((-j) * (long long)current_coeff[k]) % p) % p;
                    new_coeff[k] = (new_coeff[k] + p) % p; // 确保系数为正
                    new_coeff[k + 1] = (new_coeff[k + 1] + current_coeff[k]) % p;
                    new_coeff[k + 1] = (new_coeff[k + 1] + p) % p; // 确保系数为正
                }
                current_coeff.swap(new_coeff); // 更新多项式系数
            }
            int f_val = f[m - 1]; // 当前位置的函数值
            // 将基多项式的贡献累加到结果数组
            for (int i = 0; i < n; ++i) {
                int term = (current_coeff[i] * (long long)inv_denominator) % p;
                term = (term * (long long)f_val) % p;
                a[i] = (a[i] + term) % p;
            }
        }
        // 确保结果数组中的所有数值在模p下正确
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            a[i] = (a[i] % p + p) % p;
        }
        // 输出最终的整数序列
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            if (i > 0) cout << " ";
            cout << a[i];
        }
        cout << '\n';
    }
    return 0;
}

注释说明

• mod_pow函数：用于计算模幂，处理大数幂运算的模运算。通过快速幂算法实现。
• 输入处理：读取输入的测试用例数量N，并逐个处理每个测试用例。将字符串s转换为数值数组f。
• 分母计算：计算拉格朗日插值法中的分母，并处理模运算。分母为所有(m - j)的乘积，确保分母为正。
• 分子多项式展开：通过逐步相乘线性因子，展开分子多项式，并处理模运算。每次乘以一个线性因子时，更新多项式系数。
• 逆元和系数累加：计算分母的逆元，并将基多项式的贡献累加到结果数组a中。
• 结果输出：输出最终的整数序列，确保所有数值在模p下正确。