问题分析

题目要求在正方形 $[0, 1] \times [0, 1]$ 内给定 $N$ 个点，通过连接这些点和正方形的四个角，找到一种连接方式使得图的总长度最短。同时，需要调整这些点的位置，使得与其他点的相对位置关系保持不变的情况下，移动的总距离最小。最终输出这个最小的移动距离总和。

核心思路

1. 预定义的关键点和线段
   题目中预定义了两个关键区域，每个区域有 5 条线段和两个特殊点：

   • 区域 1：点 one 和 two，线段 Line1, Line2, Line3, Line4, Line5。
   • 区域 2：点 three 和 four，线段 Line6, Line7, Line8, Line9, Line10。

   这些线段和点的位置是根据几何特性设计的，目的是模拟一种“最优连接方式”，让每个点尽量沿最近的线段连接到正方形的顶点上。

2. 计算点到线段的最小距离
   对于每个点，计算它到某个区域所有线段的最短距离。如果点投影到线段上，就用投影点计算距离；如果投影点超出了线段范围，则取到线段起点或终点的距离。

3. 寻找最优连接点对
   遍历所有点对，计算每个点对分别连接到两个关键点的总长度（考虑点到关键点的距离和垂直距离）。选择一组点对，使得这些距离的差值最小。

4. 计算总移动距离
   对于每个区域，选择最优的点对后，计算所有点的总移动距离，即每个点到最近线段的距离之和。

5. 输出结果
   比较两个区域的最小移动距离，输出较小值。

代码细节解析

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define esp 1e-6  // 定义一个小的误差范围，用于比较浮点数
using namespace std;

int n;  // 点的数量
struct Point {
    double x, y;  // 点的坐标
    Point() {}  // 默认构造函数
    Point(double _x, double _y) { x = _x; y = _y; }  // 带参数的构造函数
    // 重载运算符 '-'，用于计算两个点的向量差
    Point operator - (const Point& b) const {
        return Point(x - b.x, y - b.y);
    }
    // 重载运算符 '*'，用于计算两个向量的点积
    double operator * (const Point& b) const {
        return x * b.x + y * b.y;
    }
} p[110];  // 存储所有点的数组

struct Line {
    Point s, e;  // 线段的起点和终点
    Line(Point p1, Point p2) {  // 构造函数
        s = p1; e = p2;
    }
};

double best = 1e9;  // 用于存储全局最小值，初始化为一个很大的数

// 预定义的关键点和线段
const Point only(0.5, 0.5);  // 正方形的中心点
const Point one(sqrt(3.0) / 6.0, 0.5);  // 区域1的关键点1
const Point two(1.0 - sqrt(3.0) / 6.0, 0.5);  // 区域1的关键点2
const Point three(0.5, sqrt(3.0) / 6.0);  // 区域2的关键点1
const Point four(0.5, 1.0 - sqrt(3.0) / 6.0);  // 区域2的关键点2
const Point lu(0, 1), ld(0, 0), ru(1, 1), rd(1, 0);  // 正方形的四个顶点

// 预定义的线段
const Line Line1(one, two);
const Line Line2(lu, one);
const Line Line3(ru, two);
const Line Line4(ld, one);
const Line Line5(rd, two);
const Line Line6(three, four);
const Line Line7(rd, three);
const Line Line8(lu, four);
const Line Line9(ld, three);
const Line Line10(ru, four);

// 将线段分组，分别对应两个区域
Line line1[5] = {Line1, Line2, Line3, Line4, Line5};
Line line2[5] = {Line6, Line7, Line8, Line9, Line10};

// 计算两点之间的欧几里得距离
double dist(Point n1, Point n2) {
    return sqrt((n1.x - n2.x) * (n1.x - n2.x) + (n1.y - n2.y) * (n1.y - n2.y));
}

// 计算点 P 到线段 L 的最小距离
double Get_nearest_point(Point P, Line L) {
    Point result;  // 用于存储最近点
    // 计算点 P 在线段 L 上的投影位置
    double t = ((P - L.s) * (L.e - L.s)) / ((L.e - L.s) * (L.e - L.s));
    if (t >= 0.0 && t <= 1.0) {
        // 如果投影点在线段范围内，计算投影点的坐标
        result.x = L.s.x + (L.e.x - L.s.x) * t;
        result.y = L.s.y + (L.e.y - L.s.y) * t;
    } else {
        // 如果投影点超出线段范围，选择离点 P 更近的端点
        if (dist(P, L.s) - dist(P, L.e) < esp) result = L.s;
        else result = L.e;
    }
    return dist(result, P);  // 返回点 P 到最近点的距离
}

// 计算点 p[x] 到一组线段 l 的最小距离
double Get_dist_to_line(int x, Line l[5]) {
    double _Min = 1e9;  // 初始化最小距离为一个很大的数
    for (int i = 0; i < 5; i++) {
        _Min = min(_Min, Get_nearest_point(p[x], l[i]));  // 遍历所有线段，找到最小距离
    }
    return _Min;
}

// 解决函数，计算在给定线段和关键点的情况下，所有点的最小移动距离
double solve(Line l[5], Point p1, Point p2) {
    int pos1, pos2;  // 用于存储最优的点对
    double ans = 0, _Min = 1e9;  // 初始化最小值和最终答案
    // 遍历所有点对，寻找最优连接点对
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            if (i == j) continue;  // 跳过相同的点
            double d1 = dist(p[i], p1), d2 = dist(p[j], p2);  // 计算点到关键点的距离
            double d3 = Get_dist_to_line(i, l), d4 = Get_dist_to_line(j, l);  // 计算点到线段的最小距离
            // 更新最小值和最优点对
            if (_Min > d1 - d3 + d2 - d4) {
                _Min = d1 - d3 + d2 - d4;
                pos1 = i; pos2 = j;
            }
        }
    }
    // 计算最优点对的总距离
    ans = dist(p[pos1], p1) + dist(p[pos2], p2);
    // 计算其他点的移动距离
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (i == pos1 || i == pos2) continue;  // 跳过最优点对
        ans += Get_dist_to_line(i, l);  // 累加其他点到线段的最小距离
    }
    return ans;  // 返回总移动距离
}

int main() {
    while (~scanf("%d", &n) && n) {  // 读取点的数量，如果为0则结束
        best = 1e9;  // 初始化全局最小值
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            scanf("%lf%lf", &p[i].x, &p[i].y);  // 读取每个点的坐标
        }
        if (n == 1) {
            // 如果只有一个点，直接计算该点到中心点的距离
            printf("%.3lf\n", dist(p[0], only));
            continue;
        }
        // 分别计算两个区域的最小移动距离，并输出较小值
        printf("%.3lf\n", min(solve(line1, one, two), solve(line2, three, four)) + esp);
    }
    return 0;
}

1. Point 和 Line 结构体

   • Point 结构体用于表示点，重载了运算符 - 和 *，分别用于计算向量减法和点积。
   • Line 结构体用于表示线段，由起点 s 和终点 e 组成。

2. 关键点和线段的定义

   • 定义了两个区域的关键点和线段，这些点和线段是根据几何特性预设的，用于计算点到线段的最小距离。

3. dist 函数
   用于计算两点之间的欧几里得距离。

4. Get_nearest_point 函数
   用于计算点到线段的最小距离。根据向量投影计算点在直线上的投影位置，如果投影位置在线段范围内，则计算投影点到点的距离；否则，计算点到线段起点或终点的距离。

5. Get_dist_to_line 函数
   遍历某个区域的所有线段，找到点到这些线段的最小距离。

6. solve 函数

   • 对于每个区域，找到一组最优的点对，使得连接到关键点的总长度最小。
   • 遍历所有点对，计算每个点对到关键点的距离，减去到最近线段的距离，选择最小值。
   • 计算所有点的总移动距离，包括最优点对到关键点的距离和其他点到最近线段的距离。

7. 主函数逻辑

   • 读取输入，处理每个测试用例。
   • 如果只有一个点，直接输出该点到中心点 only 的距离。
   • 对于多个点，分别计算两个区域的最小移动距离，输出较小值。

总结

本题通过预设的关键点和线段，模拟了一种最优连接方式。通过计算点到线段的最小距离，选择最优的点对，最终实现最小化移动距离的目标。代码整体逻辑清晰，难点在于理解几何关系和线段的预设设计。