解题思路

题目要求计算一个正整数 $n$ 作为最多四个正平方数之和的所有表示的数量。根据拉格朗日四平方定理，任何正整数都可以表示为最多四个正平方数的和。我们需要找到所有可能的组合，并计算它们的数量。为了确保不重复计算相同的组合，我们可以通过限制平方数的顺序来避免重复。

具体步骤：

1. 处理1个平方数的情况：

   • 检查 $n$ 是否是一个完全平方数。如果是，则计数加1。

2. 处理2个平方数的情况：

   • 遍历所有可能的平方数 $a^2$，使得 $a^2 \leq \frac{n}{2}$。
   • 对于每个 $a$，计算剩余部分 $rem = n - a^2$。
   • 检查 $rem$ 是否也是一个完全平方数，并且 $b \geq a$。如果是，则计数加1。

3. 处理3个平方数的情况：

   • 遍历所有可能的平方数 $a^2$，使得 $a^2 \leq \frac{n}{3}$。
   • 对于每个 $a$，计算剩余部分 $rem1 = n - a^2$。
   • 再次遍历所有可能的平方数 $b^2$，使得 $b^2 \leq \frac{rem1}{2}$。
   • 对于每个 $b$，计算剩余部分 $rem2 = rem1 - b^2$。
   • 检查 $rem2$ 是否也是一个完全平方数，并且 $c \geq b$。如果是，则计数加1。

4. 处理4个平方数的情况：

   • 遍历所有可能的平方数 $a^2$，使得 $a^2 \leq \frac{n}{4}$。
   • 对于每个 $a$，计算剩余部分 $rem1 = n - a^2$。
   • 再次遍历所有可能的平方数 $b^2$，使得 $b^2 \leq \frac{rem1}{3}$。
   • 对于每个 $b$，计算剩余部分 $rem2 = rem1 - b^2$。
   • 再次遍历所有可能的平方数 $c^2$，使得 $c^2 \leq \frac{rem2}{2}$。
   • 对于每个 $c$，计算剩余部分 $rem3 = rem2 - c^2$。
   • 检查 $rem3$ 是否也是一个完全平方数，并且 $d \geq c$。如果是，则计数加1。

5. 输出结果：

   • 将所有情况的计数相加，输出结果。

代码实现

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
    int n;
    while (cin >> n && n != 0) {
        int total = 0;

        // 处理1个数的情况
        int s = sqrt(n);
        if (s * s == n) {
            total += 1;
        }

        // 处理2个数的情况
        int count2 = 0;
        for (int a = 1; a * a <= n / 2; ++a) {
            int rem = n - a * a;
            int b = sqrt(rem);
            if (b * b == rem && b >= a) {
                count2++;
            }
        }
        total += count2;

        // 处理3个数的情况
        int count3 = 0;
        for (int a = 1; a * a <= n / 3; ++a) {
            int rem1 = n - a * a;
            for (int b = a; b * b <= rem1 / 2; ++b) {
                int rem2 = rem1 - b * b;
                int c = sqrt(rem2);
                if (c * c == rem2 && c >= b) {
                    count3++;
                }
            }
        }
        total += count3;

        // 处理4个数的情况
        int count4 = 0;
        for (int a = 1; a * a <= n / 4; ++a) {
            int rem1 = n - a * a;
            for (int b = a; b * b <= rem1 / 3; ++b) {
                int rem2 = rem1 - b * b;
                for (int c = b; c * c <= rem2 / 2; ++c) {
                    int rem3 = rem2 - c * c;
                    int d = sqrt(rem3);
                    if (d * d == rem3 && d >= c) {
                        count4++;
                    }
                }
            }
        }
        total += count4;

        cout << total << endl;
    }
    return 0;
}

代码解释

1. 处理1个平方数的情况：

   • 检查 $n$ 是否是一个完全平方数。如果是，则计数加1。

2. 处理2个平方数的情况：

   • 遍历所有可能的平方数 $a^2$，使得 $a^2 \leq \frac{n}{2}$。
   • 对于每个 $a$，计算剩余部分 $rem = n - a^2$。
   • 检查 $rem$ 是否也是一个完全平方数，并且 $b \geq a$。如果是，则计数加1。

3. 处理3个平方数的情况：

   • 遍历所有可能的平方数 $a^2$，使得 $a^2 \leq \frac{n}{3}$。
   • 对于每个 $a$，计算剩余部分 $rem1 = n - a^2$。
   • 再次遍历所有可能的平方数 $b^2$，使得 $b^2 \leq \frac{rem1}{2}$。
   • 对于每个 $b$，计算剩余部分 $rem2 = rem1 - b^2$。
   • 检查 $rem2$ 是否也是一个完全平方数，并且 $c \geq b$。如果是，则计数加1。

4. 处理4个平方数的情况：

   • 遍历所有可能的平方数 $a^2$，使得 $a^2 \leq \frac{n}{4}$。
   • 对于每个 $a$，计算剩余部分 $rem1 = n - a^2$。
   • 再次遍历所有可能的平方数 $b^2$，使得 $b^2 \leq \frac{rem1}{3}$。
   • 对于每个 $b$，计算剩余部分 $rem2 = rem1 - b^2$。
   • 再次遍历所有可能的平方数 $c^2$，使得 $c^2 \leq \frac{rem2}{2}$。
   • 对于每个 $c$，计算剩余部分 $rem3 = rem2 - c^2$。
   • 检查 $rem3$ 是否也是一个完全平方数，并且 $d \geq c$。如果是，则计数加1。

5. 输出结果：

   • 将所有情况的计数相加，输出结果。