题目描述

我们需要从一个由数字（'0'-'9'）和字母（'A'-'Z'）组成的矩阵中找出隐藏的“秘密数字”。这个秘密数字是矩阵中所有可能的数字序列中的最大值，这些数字序列必须满足：

1. 序列中的每个字符必须是数字（字母无效）。
2. 序列中的每个数字 ( D_{k+1} ) 必须位于前一个数字 ( D_k ) 的正右侧或正下方（不能跳过或斜向移动）。
3. 序列可以任意长度，但必须至少包含一个非零数字。
4. 输出时，前导零需要被省略（例如，"023" 应输出为 "23"）。

示例分析

输入样例1：

7 4
9R2A993
0E314A0
8A900DE
820R037

输出：

23900037

解释：

• 矩阵中可能的数字序列包括 908820、23140037、23900037 和 9930。
• 其中最大的数字是 23900037，因此它是秘密数字。

解题思路

1. 深度优先搜索（DFS）+ 动态规划（DP）优化

   • 我们需要遍历矩阵中的每一个数字作为起点，然后递归搜索其右侧和下方的数字，构建所有可能的数字序列。
   • 由于矩阵可能较大（( W + H \leq 70 )），直接暴力搜索会导致指数级时间复杂度，因此需要优化：
     • 记忆化搜索（Memoization）：存储已经计算过的位置的最优解，避免重复计算。
     • 剪枝（Pruning）：如果当前路径的数字已经比已知的最大数字小，可以提前终止搜索。
   • 使用字符串比较来确保我们始终跟踪最大的数字序列。

2. 关键步骤

   • 遍历矩阵：对每个数字字符（'0'-'9'）作为起点进行DFS。
   • DFS搜索：从当前位置出发，向右或向下移动，构建数字序列。
   • 比较和更新最大值：在DFS过程中，维护当前最大的数字序列。
   • 处理前导零：在最终输出时，跳过前导零。

代码实现（c++）

#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
#include <algorithm>

using namespace std;

string max_num;
vector<vector<string> > memo;

void dfs(int i, int j, const vector<string>& grid, string current_str, int W, int H) {
    if (i < 0 || i >= H || j < 0 || j >= W) {
        return;
    }
    char c = grid[i][j];
    if (!isdigit(c)) {
        return;
    }
    string new_str = current_str + c;
    // Update max_num if new_str is larger
    if (new_str.length() > max_num.length() || 
        (new_str.length() == max_num.length() && new_str > max_num)) {
        max_num = new_str;
    }
    // Prune if memo[i][j] already has a better or equal solution
    if (memo[i][j] != "" && 
        (memo[i][j].length() > new_str.length() || 
            (memo[i][j].length() == new_str.length() && memo[i][j] >= new_str))) {
        return;
    }
    memo[i][j] = new_str;
    // Explore right and down
    dfs(i, j + 1, grid, new_str, W, H);
    dfs(i + 1, j, grid, new_str, W, H);
}

void solve() {
    while (true) {
        int W, H;
        cin >> W >> H;
        if (W == 0 && H == 0) {
            break;
        }
        vector<string> grid(H);
        for (int i = 0; i < H; ++i) {
            cin >> grid[i];
        }
        max_num = "";
        memo.assign(H, vector<string>(W, ""));
        for (int i = 0; i < H; ++i) {
            for (int j = 0; j < W; ++j) {
                if (isdigit(grid[i][j])) {
                    dfs(i, j, grid, "", W, H);
                }
            }
        }
        // Remove leading zeros
        if (!max_num.empty()) {
            size_t pos = max_num.find_first_not_of('0');
            if (pos == string::npos) {
                max_num = "0";
            } else {
                max_num = max_num.substr(pos);
            }
        }
        cout << max_num << endl;
    }
}

int main() {
    solve();
    return 0;
}

复杂度分析

• 时间复杂度：最坏情况下 ( O(W \times H \times 2^{W+H}) )，但由于使用了记忆化剪枝，实际运行时间会大幅减少。
• 空间复杂度：( O(W \times H \times L) )，其中 ( L ) 是最长数字序列的长度。

优化点

1. 记忆化存储：避免重复计算同一位置的最优解。
2. 字符串比较剪枝：如果当前路径的数字比已知最大值短或更小，直接终止搜索。
3. 前导零处理：在输出时去除前导零。

总结

本题的关键在于如何高效地遍历所有可能的数字序列，并找到最大的那个。DFS + 记忆化剪枝是一种有效的解法，能够避免暴力搜索的高时间复杂度。同时，需要注意前导零的处理，确保输出符合题目要求。