问题理解

我们需要计算溶液的 pH 值。pH 值的计算公式为：

$pH = -\log_{10}[H^+]$

其中，$[H^+]$ 是溶液中质子的浓度。为了计算 $[H^+]$，我们需要考虑酸的酸性常数 $K_a$ 和酸的初始浓度。

解决思路

1. 酸性常数 $K_a$ 和酸的初始浓度：

   • $K_a$ 是酸的酸性常数，表示酸的强度。
   • 初始浓度表示酸在溶液中的初始摩尔浓度。

2. 酸的解离平衡：

   • 酸在水中解离为 $[H^+]$ 和酸离子。
   • 解离平衡方程为： $K_a = \frac{[H^+][\text{酸离子}]}{[\text{酸}]}$
   • 假设初始时 $[H^+]$ 和 $[\text{酸离子}]$ 均为 0。

3. 解离的酸分子数 $x$：

   • 假设有 $x$ 摩尔的酸分子解离，则 $[H^+] = x \times m$ 和 $[\text{酸离子}] = x \times n$。
   • 酸的剩余浓度为 $[\text{酸}] = \text{初始浓度} - x$。

4. 解方程：

   • 代入平衡方程： $K_a = \frac{(x \times m)(x \times n)}{\text{初始浓度} - x}$
   • 这是一个二次方程，可以通过数值方法求解 $x$。

5. 计算 pH：

   • 计算 $[H^+]$ 并代入 pH 公式。

代码实现

以下是实现上述思路的代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <string>
#include <cstring>
#include <cstdio>  // 添加这个头文件以使用 printf

using namespace std;

int main() {
    double ka;
    double ori_con;
    int m;
    int n;
    
    while (1) {
        cin >> ka;
        cin >> ori_con;
        cin >> m;
        cin >> n;
        
        if (ka + ori_con + m + n == 0)
            break;
        double x = (sqrt(ka * ka + 4 * ka * ori_con * m * n) - ka) / (2 * n);

        printf("%.3f\n", -log10(x));
    }
    return 0;
}

代码解释

1. 输入处理：

   • 读取酸性常数 $K_a$、初始浓度、$m$ 和 $n$。
   • 如果输入为四个零，则结束程序。

2. 解方程：

   • 根据平衡方程，解二次方程 $K_a = \frac{(x \times m)(x \times n)}{\text{initial\_con} - x}$。
   • 整理为标准二次方程形式 $a x^2 + b x + c = 0$。
   • 使用求根公式计算 $x$。

3. 计算 pH：

   • 计算 $[H^+]$ 浓度 $x \times m$。
   • 使用 pH 公式计算并输出结果。

通过这种方法，我们可以计算出给定酸的 pH 值。

题意分析

题目背景

本题属于化学平衡与对数计算问题，要求根据酸的酸性常数（$K_a$）、初始浓度（$C$）以及每摩尔酸溶解后生成的$H^+$离子数（$m$）和酸离子数（$n$），计算溶液的pH值。

核心问题

1. 输入：
   • $K_a$：酸的酸性常数（科学计数法，如1.6e-04）。
   • $C$：酸的初始浓度（摩尔/升）。
   • $m$：每摩尔酸溶解生成的$H^+$数。
   • $n$：每摩尔酸溶解生成的酸离子数。
2. 输出：溶液的pH值，保留3位小数。
3. 终止条件：输入0 0 0 0时结束。

关键公式

1. 平衡方程：$$K_a = \frac{[H^+][A^-]}{[HA]}$$ 其中：
   • $[H^+]$：质子浓度。
   • $[A^-]$：酸离子浓度。
   • $[HA]$：未解离的酸浓度。
2. 浓度关系：
   • 设解离的酸浓度为$x$，则：$$[H^+] = m \cdot x, \quad [A^-] = n \cdot x, \quad [HA] = C - x $$
3. pH计算：$$\text{pH} = -\log_{10} [H^+]$$

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解题思路

1. 建立方程

将浓度关系代入平衡方程：

$$K_a = \frac{(m x)(n x)}{C - x}$$

整理为关于$x$的二次方程：

$$m n x^2 + K_a x - K_a C = 0$$

2. 求解$x$

使用求根公式：

$$x = \frac{-K_a + \sqrt{K_a^2 + 4 K_a C m n}}{2 m n} $$

（舍去负根，因$x \geq 0$）

3. 计算pH值

$$\text{pH} = -\log_{10} (m x)$$

4. 边界处理

• 若$x \approx 0$，说明酸几乎未解离，pH由水的自耦电离决定（本题无需考虑）。
• 若$x \approx C$，说明酸完全解离，直接计算$[H^+] = m C$。

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算法实现

代码框架

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <string>
#include <cstring>
#pragma warning(disable:4996)
using namespace std;
 
int main()
{
	double ka;
	double ori_con;
	int m;
	int n;
	
	while(1)
	{
		cin>>ka;
		cin>>ori_con;
		cin>>m;
		cin>>n;
		
		if(ka+ori_con+m+n==0)
			break;
		double x=(sqrt(ka*ka+4*ka*ori_con*m*n)-ka)/(2*n);
 
		printf("%.3f\n",-log10(x));
	}
	return 0;
}

关键步骤

1. 输入处理：循环读取$K_a$、$C$、$m$、$n$，直到全为0。
2. 解方程：计算解离浓度$x$。
3. pH计算：通过$[H^+] = m x$和$-\log_{10}$得到pH值。
4. 输出：保留3位小数。

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复杂度分析

• 时间：$O(1)$，仅需常数次数学运算。
• 空间：$O(1)$，固定变量存储。