线性方程组求解解题思路

核心功能

使用克莱姆法则（Cramer's Rule）求解3×3线性方程组，并判断解的唯一性

实现步骤

一、输入阶段

1. 读取3×3系数矩阵a[][]
2. 读取3维常数项向量b[]

二、行列式计算

1. 计算系数矩阵的行列式A（主函数中的cal()）
2. 对每个变量x_i：
   • 将系数矩阵第i列替换为常数项向量
   • 计算新矩阵的行列式ans[i]

三、解的情况判断

1. 无唯一解情况：
   • 当A=0时直接判定无唯一解
2. 唯一解情况：
   • 使用公式x_i = ans[i]/A计算各变量解
   • 对解进行精度处理（绝对值<0.0005视为0）

四、输出阶段

1. 先输出4个行列式值（3个替换行列式+原行列式）
2. 根据行列式值输出结论：
   • 无唯一解提示
   • 或保留3位小数的唯一解

关键算法

1. 行列式计算：

   |a b c|
   |d e f| = a(ei-fh) - b(di-fg) + c(dh-eg)
   |g h i|
   

2. 克莱姆法则：
   • x_i = det(A_i)/det(A)
   • 其中A_i是用b替换A的第i列得到的矩阵

技术特点

1. 数值处理：

   • 自定义val()函数处理浮点误差
   • 零值判断阈值设为±0.0005

2. 内存高效：

   • 复用同一个3×3矩阵进行计算
   • 通过列交换实现矩阵替换

3. 输出规范：

   • 严格保留3位小数
   • 不同情况有明确文字提示

复杂度分析

• 时间复杂度：O(1)（固定3×3矩阵）
• 空间复杂度：O(1)

该实现适用于需要快速求解小型线性方程组的场景，特别是需要判断解的存在唯一性的情况。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
using namespace std;

long long a[3][3], b[3];

void input()
{
for (int i = 0; i < 3; i++)
    {
for (int j = 0; j < 3; j++)
            scanf("%lld", &a[i][j]);
        scanf("%lld", &b[i]);
    }
}

long long cal()
{
return a[0][0] * (a[1][1] * a[2][2] - a[1][2] * a[2][1]) - a[0][1]
* (a[1][0] * a[2][2] - a[1][2] * a[2][0]) + a[0][2] * (a[1][0]
* a[2][1] - a[1][1] * a[2][0]);
}

double val(double a)
{
if (a < 0.0005 && -0.0005 < a)
return 0;
return a;
}

void work()
{
long long A = cal();
long long ans[3];
for (int i = 0; i < 3; i++)
    {
for (int j = 0; j < 3; j++)
            swap(b[j], a[j][i]);
        ans[i] = cal();
for (int j = 0; j < 3; j++)
            swap(b[j], a[j][i]);
    }
for (int i = 0; i < 3; i++)
        printf("%lld ", ans[i]);
    printf("%lld\n", A);
if (A == 0)
        printf("No unique solution\n");
else
    {
        printf("Unique solution:");
for (int i = 0; i < 3; i++)
            printf(" %.3f", val(ans[i] * 1.0 / A));
        putchar('\n');
    }
    putchar('\n');
}

int main()
{
//freopen("t.txt", "r", stdin);
    int t;
    scanf("%d", &t);
while (t--)
    {
        input();
        work();
    }
return 0;
}