简单解题思路

问题描述

给定一根长度为 L 的金属棒，在温度变化后长度变为 S = L*(1+n*C)（n 为温度变化，C 为热膨胀系数）。金属棒弯曲成圆弧，要求计算金属棒中点的垂直位移高度 x。

核心思想

1. 几何关系：

   • 弯曲后的金属棒形成圆弧，设圆弧半径为 r，圆心角为 θ。
   • 几何关系：
     • 弦长 L = 2*r*sin(θ/2)
     • 弧长 S = r*θ
     • 位移高度 x = r - r*cos(θ/2)

2. 二分法求解：

   • 通过二分法在区间 [0, L/2] 中搜索 x：
     • 对于每个中间值 x，计算对应的半径 r 和弧长 S'；
     • 比较 S' 与实际弧长 S，调整搜索区间。

关键步骤

1. 输入处理：

   • 读取 L（原长）、n（温度变化）、C（热膨胀系数）；
   • 计算膨胀后的长度 S = L*(1+n*C)。

2. 二分搜索：

   • 初始化搜索区间 r1=0，r2=L/2；
   • 迭代计算中点 x，并验证是否满足 r*θ ≈ S；
   • 根据比较结果收缩区间，直到精度满足要求（1e-5）。

3. 输出结果：

   • 输出最终计算出的位移高度 x（保留3位小数）。

总结

• 核心算法：二分法求解几何方程。
• 适用场景：物理热膨胀问题、圆弧几何计算。
• 优化点：通过二分法高效逼近解，避免解析求解复杂方程。

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <math.h>
 
using namespace std ;
 
int main()
{
	double L ;
	double S ;
	double r ;
	double n ;
	double C ;
	
	while(scanf("%lf%lf%lf" , &L , &n ,&C)!=EOF )
	{
		if(L < 0  && n < 0  && C < 0)
			break ;
		
		S = L * ( 1 + n * C) ;
		
		double r1 ;
		double r2 ;
		r1 = 0.0   ;
		r2 = L / 2 ;
		double x  ;
		
		while(r2 - r1 > 1e-5)
		{
			x = (r1 + r2)/ 2 ;
			
			r = L * L / ( 8 * x)  + x / 2 ;
			
			if(r*2*asin((L/2/r)) < S)
				r1 = x ;   
			else
				r2 = x ;
		}	
		
		printf("%.3lf\n" , x ) ;
	}
	
}