题目描述

一个用于自动化工厂的机械臂由$N$个连接的连杆组成：连杆$1$连接连杆$2$，...，连杆$N-1$连接连杆$N$。每个连杆都是指定长度的直杆，长度分别为$len_1$, $len_2$, ..., $len_N$。每对连接的连杆之间有一个伺服电机：伺服$2$（连接连杆$1$和连杆$2$），...，伺服$N$（连接连杆$N-1$和连杆$N$），可以激活以调整连接连杆之间的角度。连杆$1$还通过伺服$1$连接到工厂地面（在笛卡尔坐标系中的点$x=0$, $y=0$, $z=0$）。最后一个连杆（连杆$N$）的自由端有一个"手"，用于抓取物体。

在机械臂的初始设置中，每个伺服电机设置为无旋转（$0$度），机械臂中的连杆与$z$轴重合。$xy$平面是水平的（工厂地面），整个机械臂最初垂直向上。从这个初始设置开始，每个伺服电机可以在两个方向中的任意一个方向上旋转最多$90$度。伺服$1$通过绕$y$轴旋转使整个机械臂在$xz$平面内移动。伺服$2$通过绕$x$轴旋转使机械臂（除连杆$1$外）在（可能旋转后的）$yz$平面内移动。类似地，每个奇数编号的伺服电机可以在（可能旋转后的）$xz$平面内旋转机械臂的剩余部分，每个偶数编号的伺服电机可以在（可能旋转后的）$yz$平面内旋转机械臂的剩余部分。实际上，伺服电机绕固定在每个连杆末端的坐标系的$y$轴和$x$轴旋转连杆。如果我们沿着轴的正半轴看向坐标原点，逆时针旋转会产生正旋转角度。示例数据经过精心选择，以展示这些旋转的效果。

机械臂的最终定位有两个限制：机械臂的任何部分都不能低于工厂地面，并且机械臂中的连杆不能相互交叉（除了它们通过伺服电机连接的地方）。

只需检查机械臂的最终位置。

给定机械臂中的连杆数量、它们的长度以及伺服电机的拟议设置，首先确定机械臂的拟议定位是否允许。如果机械臂可以按拟议方式定位，则计算机器人手的坐标，精确到三位小数。否则，识别第一个（编号最小）设置不当的伺服电机，以及该设置不当的原因。如果连杆之间的距离小于$0.001$长度单位，则认为它们相交。

输入格式

输入数据包含多个测试用例。每个测试用例按顺序包括连杆数量$N$、它们的长度$len_1$, ..., $len_N$，以及伺服电机（从伺服$1$开始）拟议设置的角度。长度和伺服角度为实数，连杆数量为整数。任何机械臂中的连杆数量不超过$10$个。最后一个测试用例后跟一个负整数。

输出格式

对于每个测试用例，显示测试用例编号（从$1$开始）。然后，如果拟议设置允许，显示机器人手在原始（工厂地面）坐标系中的位置（保留三位小数）。否则，显示第一个设置不当的伺服电机的编号及其设置不当的原因。可以接受类似于下面所示的输出格式。

输入数据 1

2 25 15 0 90.0
1 1.0 45.0
2 1 1 0 45
4 1 2 3 4 90 0 0 0
3 1 1 1 0 90 90
2 1 1 45.0 45
4 1 1 1 2 0 90 0 90
8 10 1 1 1 1 1 1 2
   0 0 90 0 90 0 90 0
-1

输出数据 1

Case 1: robot's hand is at (0.000,-15.000,25.000)
Case 2: robot's hand is at (0.707,0.000,0.707)
Case 3: robot's hand is at (0.000,-0.707,1.707)
Case 4: robot's hand is at (10.000,0.000,0.000)
Case 5: robot's hand is at (1.000,-1.000,1.000)
Case 6: robot's hand is at (1.207,-0.707,1.207)
Case 7: servo 4 attempts to move arm below floor
Case 8: servo 8 causes link collision