题解

这个问题是一个典型的动态规划问题，涉及到平衡的装置，要求计算有多少种方式可以平衡这个装置。装置的左右两侧挂有若干个钩子，每个钩子上可以挂一个不同的重量，目标是通过合理分配这些重量，确保装置保持平衡。

问题分析

1. 装置的描述：

   • 装置的两侧有若干个钩子，每个钩子距离平衡中心有一定的距离，钩子的距离和重量决定了平衡。
   • 设备的平衡依赖于重量和距离的乘积：对于一个左侧的钩子，距离是负数，表示它对平衡产生一个负的贡献；右侧的钩子，距离是正数，表示它对平衡产生一个正的贡献。

2. 目标：

   • 通过给定的权重（每个权重都不同），计算有多少种方式能够使得装置达到平衡状态。
   • 平衡状态的条件是：左侧重量对平衡的影响总和等于右侧重量对平衡的影响总和。

3. 模型构建：

   • 假设有 C 个钩子和 G 个重量，钩子的位置和重量的分布决定了平衡是否能够达到。
   • 这是一个典型的背包问题的变种，可以通过动态规划（DP）来解决。

4. 动态规划的思路：

   • 用 dp[i][j] 来表示使用前 i 个重量，达到平衡位置为 j - 7500 的方案数。
   • 由于钩子的位置是负数和正数，考虑使用一个偏移量 7500 来处理负值，使得所有状态都保持在正数范围内。
   • 通过逐步考虑每个重量和钩子的位置，更新 dp 数组，最终可以得到平衡的方案数。

代码实现

#include<stdio.h>
#include<string.h>
int main()
{
    int m, n, i, j, k;
    int c[25], g[25], dp[25][15000];
    memset(dp, 0, sizeof(dp)); // 初始化dp数组，全部置为0

    // 输入C（钩子数）和G（重量数）
    scanf("%d %d", &m, &n);
    
    dp[0][7500] = 1; // 初始状态：没有任何重量时，平衡状态为0，偏移量为7500

    // 读取钩子的位置
    for(i = 1; i <= m; i++) 
        scanf("%d", &c[i]);
    
    // 读取重量的值
    for(i = 1; i <= n; i++) 
        scanf("%d", &g[i]);

    // 动态规划的核心部分：逐个考虑每个重量和钩子
    for(i = 1; i <= n; i++) { // 遍历每个重量
        for(j = 0; j <= 15000; j++) { // 遍历每个可能的状态
            for(k = 1; k <= m; k++) { // 遍历每个钩子
                // 状态转移：根据钩子位置和重量的乘积来更新dp
                dp[i][j + c[k] * g[i]] = dp[i][j + c[k] * g[i]] + dp[i - 1][j];
            }
        }
    }

    // 输出最终的平衡方案数
    printf("%d", dp[n][7500]); // 平衡的状态为0，偏移量是7500，输出方案数

    return 0;
}

代码解释

1. 输入读取：

   • m 和 n 分别表示钩子数量和重量数量。
   • c[] 存储每个钩子的位置，g[] 存储每个重量的大小。

2. 动态规划状态初始化：

   • dp[0][7500] = 1 表示没有使用任何重量时，平衡的状态是0（偏移量为7500）。

3. 动态规划核心：

   • 外层循环遍历每个重量 g[i]。
   • 中层循环遍历所有可能的平衡位置状态 j（从 0 到 15000，偏移量为 7500）。
   • 内层循环遍历每个钩子位置 c[k]，更新 dp[i][j + c[k] * g[i]]，即使用当前重量并在当前钩子位置上加上该重量。

4. 输出结果：

   • 最终输出 dp[n][7500]，即所有重量使用完毕且平衡位置为0时的方案数。

复杂度分析

• 时间复杂度：

  • 外层循环：遍历每个重量 $O(n)$。
  • 中层循环：遍历每个可能的状态 $O(15000)$。
  • 内层循环：遍历每个钩子 $O(m)$。
  • 因此，总的时间复杂度为 $O(n \times 15000 \times m)$，在最坏情况下 $m = 20$ 和 $n = 20$，可以接受。

• 空间复杂度：

  • 我们使用了一个二维数组 dp，空间复杂度为 $O(n \times 15000)$，即大约需要 $300000$ 的空间。

示例

输入：

2 4    
-2 3 
3 4 5 8

输出：

2

结论

这道题目通过动态规划来解决如何平衡装置的问题。通过巧妙地使用钩子的位置和重量的关系，结合状态转移，我们能够计算出所有可能的平衡方式，并输出最少需要删除的士兵数。