题意分析

题目描述了一个几何问题：给定一个大圆半径 R 和要放置的小圆数量 n，要求计算小圆半径 r 的最大可能值，使得 n 个小圆可以紧密排列在大圆的边界内侧，且小圆之间没有空隙。

关键点：

1. 小圆必须全部接触大圆的内边界
2. 相邻小圆必须彼此相切
3. 需要找到满足条件的最大小圆半径 r

解题思路

1. 几何关系建立：

   • 将大圆中心 O 与每个小圆中心 C_i 连接，形成正 n 边形
   • 相邻小圆中心连线长度为 2r
   • 大圆半径 R = r + 小圆中心到大圆中心的距离

2. 数学推导：

   • 正 n 边形的中心角为 2π/n
   • 利用三角函数关系：sin(π/n) = r/(R-r)
   • 解得：r = R·sin(π/n) / (1 + sin(π/n))

3. 算法选择：

   • 直接应用推导出的公式计算
   • 注意使用高精度数学函数计算三角函数值

4. 输入输出处理：

   • 多组测试数据
   • 输出格式要求精确到小数点后3位
   • 每组输出后有空行

标程实现

#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cmath>

using namespace std;

int main() {
    int scenarios;
    cin >> scenarios;
    
    const double PI = acos(-1.0); // 精确计算π值
    
    for (int scenario = 1; scenario <= scenarios; ++scenario) {
        double R;
        int n;
        cin >> R >> n;
        
        double angle = PI / n; // 计算中心角的一半
        double sin_val = sin(angle);
        double r = (R * sin_val) / (1 + sin_val);
        
        // 格式化输出
        cout << "Scenario #" << scenario << ":\n"
             << fixed << setprecision(3) << r << "\n\n";
    }
    
    return 0;
}

代码说明

1. 输入处理：

   • 读取测试用例数量 scenarios
   • 对于每个测试用例读取 R 和 n

2. 数学计算：

   • 使用 acos(-1.0) 精确计算 π
   • 计算中心角 angle = π/n
   • 应用推导公式计算 r

3. 输出处理：

   • 使用 fixed 和 setprecision(3) 保证输出3位小数
   • 每组输出后添加空行

4. 注意事项：

   • 使用 double 保证计算精度
   • 三角函数计算使用标准库函数
   • 输出格式严格符合题目要求

该解法直接应用几何公式，时间复杂度为 O(1) 每测试用例，能够高效处理题目给定的数据范围。