题意分析

1. 背景：在Divido星球上，由于计算器的普及，学生们不会用纸笔进行长除法运算了。星球政府要对小学生进行数学技能测试，且是选择题形式，学生只需计算两个数相除时循环节的长度。又因为该星球上不同智慧物种手指数量不同，所以数字系统的基数也不同。
2. 问题：给定一个基数(b)（(2 \leq b \leq 36)），以及基数为(b)的分子(x)和分母(y)（(0 < y \leq 100000_{10})），需要计算分数(q = x/y)在基数(b)展开式中的循环节长度。有理数(q)在基数(b)下的展开式中，数位是基数的幂的系数（(q = q_nq_{n - 1}\cdots q_0.q_{-1}q_{-2}\cdots=\sum_{-\infty\leq i\leq n}q_ib^i) ）。如果分数在基数(b)下有有限展开式（即后面所有数位都是(0)），则循环节长度为(0)。
3. 输入：第一行是分数的数量。对于每个分数，先输入基数(b)（十进制数），然后输入分子(x)和分母(y)（基数为(b)，不在(0\cdots9)范围内的数字用从“(a)”或“(A)”开始的字母表示，大小写无关），它们之间用单个空格分隔。
4. 输出：每个测试用例输出以“Scenario #(i):”开头（(i)从(1)开始），然后输出(x/y)在基数(b)展开式中循环节的长度（以十进制数形式），最后用一个空行结束该测试用例的输出。

解题思路

1. 转换基数：编写函数 convertToDec，将基数为(b)的字符串形式的数转换为十进制整数。遍历字符串中的每个字符，如果是数字字符，则将其转换为对应的数字；如果是字母字符，则将其转换为对应的(10)以上的数字，然后根据基数(b)进行计算。
2. 计算循环节长度：编写函数 calculatePeriodLength 来计算循环节长度。使用一个无序映射 remainderIndex 来记录每次除法运算后的余数及其出现的位置。初始时，计算分子除以分母的余数 remainder。然后进入循环，只要余数不为(0)且该余数尚未在映射中出现过，就将余数及其当前位置记录到映射中，并计算下一次除法运算的余数（通过将当前余数乘以基数(b)再对分母取余得到），同时位置索引 index 加(1)。当余数为(0)时，说明分数是有限小数，循环节长度为(0)；当余数再次出现时，说明找到了循环节，循环节长度为当前位置索引 index 减去该余数首次出现时的位置索引。
3. 主函数逻辑：在 main 函数中，首先读取测试用例的数量 numCases。对于每个测试用例，读取基数(b)，以及分子和分母的字符串表示 xStr 和 yStr。将它们转换为十进制整数 x 和 y 后，调用 calculatePeriodLength 函数计算循环节长度 periodLength，并按照输出格式要求进行输出。

标程（C++）

#include <iostream>
#include <string>
#include <unordered_map>
#include <cmath>
using namespace std;

// 将b进制字符串转换为十进制整数
int convertToDec(const string& num, int b) {
    int res = 0;
    for (char c : num) {
        int digit;
        if (isdigit(c)) {
            digit = c - '0';
            if (digit >= b) return -1; // 非法数字
        }
        else {
            digit = tolower(c) - 'a' + 10;
            if (digit >= b) return -1; // 非法数字
        }
        res = res * b + digit;
    }
    return res;
}

int calculatePeriodLength(int b, int x, int y) {
    if (y == 0) return 0; // 避免除以零
    
    unordered_map<int, int> remainderIndex;
    int remainder = x % y;
    int index = 0;

    while (remainder != 0 && remainderIndex.find(remainder) == remainderIndex.end()) {
        remainderIndex[remainder] = index;
        remainder = (remainder * b) % y;
        index++;
    }

    if (remainder == 0) {
        return 0;
    }
    else {
        return index - remainderIndex[remainder];
    }
}

int main() {
    int numCases;
    cin >> numCases;

    for (int i = 1; i <= numCases; ++i) {
        int b;
        string xStr, yStr;
        cin >> b >> xStr >> yStr;

        int x = convertToDec(xStr, b);
        int y = convertToDec(yStr, b);

        if (x == -1 || y == -1) {
            cout << "Scenario #" << i << ":\nInvalid number!\n\n";
            continue;
        }

        int periodLength = calculatePeriodLength(b, x, y);

        cout << "Scenario #" << i << ":\n";
        cout << periodLength << "\n\n";
    }

    return 0;
}