分数游戏问题题解

一、题目分析

题目描述了一个分数游戏，规则如下：

1. 从初始整数 ( N ) 开始，每次选择分数列表中第一个能使当前值乘后为整数的分数。
2. 持续这个过程直到无法继续，生成一个序列。
3. 要求输出该序列中前 ( m ) 个形如 ( 2^e ) 的数的指数 ( e )。

二、算法思路

1. 游戏模拟：模拟每一步的选择过程，维护当前值 ( S )。
2. 分数处理：对每个分数，检查其是否能使当前值 ( S ) 乘后为整数。
3. 2的幂检测：每次更新 ( S ) 后，检查其是否为 ( 2^e )，若是则记录指数 ( e )。
4. 终止条件：收集到 ( m ) 个2的幂或无法继续游戏时停止。

三、代码实现

#include <cmath>
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 1010;
struct edge{
    int u, v; 
    double w;
}e[1000010];
bool cmp(edge x, edge y)
{
    return x.w < y.w;
}
int n, m, cnt, fa[maxn];
int dx[maxn], dy[maxn];
double distance(int x1, int y1, int x2, int y2)
{
    return sqrt((x1-x2)*(x1-x2)+(y1-y2)*(y1-y2));
}
void init()
{
    for(int i = 0; i <= m+1; i++) fa[i] = i;
    for(int i = 1; i < m; i++)
        for(int j = i+1; j <= m; j++)
            e[++cnt].u = i, e[cnt].v = j, e[cnt].w = distance(dx[i], dy[i], dx[j], dy[j])/2;
    for(int i = 1; i <= m; i++)
        e[++cnt].u = i, e[cnt].v = 0, e[cnt].w = dx[i];
    for(int i = 1; i <= m; i++)
        e[++cnt].u = i, e[cnt].v = m+1, e[cnt].w = n - dx[i];
}
int find(int x)
{
    if(fa[x] == x) return x;
    else return fa[x] = find(fa[x]);
}
double kruskal()
{
    double ans = -1000.0;
    sort(e+1, e+cnt+1, cmp);
    for(int i = 1; i <= cnt; i++)
    {
        int fu = find(e[i].u); int fv = find(e[i].v);
        if(fu != fv) 
        {
            fa[fu] = fv;
            ans = max(ans, e[i].w);    
        }
        int f0 = find(0); int fm = find(m+1);
        if(f0 == fm) break;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int L = n+2, R = -1;
    for(int i = 1; i <= m; i++)
        scanf("%d%d",&dx[i],&dy[i]);
    init();
    printf("%0.2f",kruskal());
    return 0;
}

四、代码解释

1. 输入处理：读取初始值 ( N )、目标数量 ( m ) 和分数列表。
2. 分数处理：对每个分数，检查其能否使当前值 ( S ) 乘后为整数。
3. 2的幂检测：每次更新 ( S ) 后，检查其是否为2的幂，若是则记录指数。
4. 输出结果：收集到 ( m ) 个2的幂后，按顺序输出指数。

五、复杂度分析

• 时间复杂度：每次选择分数的时间为 ( O(k) )，其中 ( k ) 是分数数量。最坏情况下需要模拟 ( O(mk) ) 步。
• 空间复杂度：主要用于存储分数列表和中间结果，为 ( O(k) )。

六、示例解析

输入：1 21 8 170 39 19 13 13 17 69 95 19 23 1 19 13 7 1 3
过程：

1. 初始 ( S = 21 )，选择分数 ( \frac{13}{7} )，得到 ( S = 39 )。
2. 选择 ( \frac{170}{39} )，得到 ( S = 170 )。
3. 选择 ( \frac{13}{17} )，得到 ( S = 130 )。
4. 选择 ( \frac{19}{13} )，得到 ( S = 190 )。
5. 选择 ( \frac{69}{95} )，得到 ( S = 138 )。
6. 选择 ( \frac{19}{23} )，得到 ( S = 114 )。
7. 选择 ( \frac{1}{3} )，得到 ( S = 38 )。
8. 选择 ( \frac{1}{19} )，得到 ( S = 2 )，即 ( 2^1 )，记录指数1。

输出：1