约瑟夫环问题变种解析

这个问题是经典约瑟夫环问题的变种。在原版问题中，每数到第三个人就会被杀掉，而本题的变种是每数到第二个人离开。

问题分析

规则：

• n个人围成一圈，编号1到n
• 从1号开始计数，每次数到第二个人就让其离开
• 求最后剩下的人的编号

示例：当n=5时，离开顺序为2→4→1→5，最后剩下3号。

数学规律推导

通过分析小规模案例，我们可以找到规律：

• 当n=1时，存活者是1
• 当n=2时，存活者是1
• 当n=3时，存活者是3
• 当n=4时，存活者是1
• 当n=5时，存活者是3
• 当n=6时，存活者是5
• 当n=7时，存活者是7
• 当n=8时，存活者是1

观察发现，当n是2的幂时，存活者总是1。对于其他数值，存活者的位置可以通过公式计算：

1. 找到小于等于n的最大2的幂，记为2^k
2. 存活者位置 = 2*(n - 2^k) + 1

代码实现解析

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
long long p;
int n,m,z;
string s;
long long ef[50]={0,1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,4096,8192,16384,32768,65536,131072,262144,524288,1048576,2097152,4194304,8388608,16777216,33554432,67108864,134217728,268435456};
//数组打表记录2的整数次幂
int main()
{
    while (cin>>s,s[0]-'0'+s[1]-'0') // 读取输入直到遇到00e0
    {
        n=s[0]-'0';  // 提取第一位数字
        m=s[1]-'0';  // 提取第二位数字
        z=s[3]-'0';  // 提取零的个数
        p=(n*10+m);  // 组成前两位数字
        for (int i=1;i<=z;i++)  // 添加z个零
            p*=10;
        if (p==1||p==2||p==4)  // 特殊情况处理
        {
            cout<<1<<endl;
        }
        else
        {
            if (p==3)  // 特殊情况处理
                cout<<3<<endl;
            else
            {
                long long t;
                int k;
                for (int i=1;p>ef[i];i++)  // 找到小于等于p的最大2的幂
                    k=i;
                if (ef[k+1]==p)  // 如果p恰好是2的幂
                    cout<<1<<endl;
                else
                {
                    t=1+2*(p-ef[k]);  // 应用公式计算存活者位置
                    cout<<t<<endl;
                }       
            }   
        }       
    }
    return 0;
}

关键步骤解释

1. 输入处理：

   • 输入格式为"xyez"，表示数字n = xy后面跟z个零
   • 例如"05e0"表示5，"01e1"表示10

2. 打表优化：

   • 使用数组ef存储2的前30次幂，方便快速查找

3. 数学公式应用：

   • 找到小于等于n的最大2的幂2^k
   • 如果n恰好是2的幂，直接返回1
   • 否则，使用公式2*(n - 2^k) + 1计算存活者位置

复杂度分析

• 时间复杂度：每次查询为O(log n)，主要用于查找小于等于n的最大2的幂
• 空间复杂度：O(1)，使用固定大小的数组存储2的幂

这个算法通过数学规律直接计算结果，避免了模拟淘汰过程，高效解决了大规模数据下的问题。