市场摊位问题题解

题目分析

市场中有$N$个现有摊位，新摊位需选择位置$L$（现有摊位$L$之后，$1 \leq L < N$）和价格$P$，使得预期收入最大化。买家分两种方向行走（左→右、右→左），按规则选择价格最低的摊位（同价选最近）。需结合各$K$值（经过$K$个摊位后返回）的买家比例$B_K$计算收入。

算法思路

1. 价格候选生成：
   最优价格通常出现在现有价格的邻近值（如略低于某摊位价格）。因此，生成所有现有价格的原值及原值减1作为候选价格，去重后排序。

2. 枚举所有可能位置和价格：
   遍历所有可能的新摊位位置$L$（$1 \leq L < N$）和候选价格$P$，计算每个组合的预期收入。

3. 收入计算（$count$函数）：
   对每个位置$L$和价格$P$，模拟左右两个方向的买家行为：

   • 左→右方向：买家经过$K$个摊位（$K=1 \sim N$），记录前$K$个摊位的最低价格摊位。若新摊位是最低且最近，则累加对应$B_K$的比例。
   • 右→左方向：类似，买家从右向左经过$K$个摊位，同样统计新摊位被选中的比例。
     总收入为价格$P$乘以总比例（左右各占50%）。

代码关键步骤解析

1. 输入处理与价格候选生成

• 候选价格生成逻辑：通过现有价格的原值及原值减1，覆盖可能的最优价格（如略低于某摊位价格以吸引买家）。
• 去重排序：确保候选价格唯一且有序，减少重复计算。

2. 收入计算函数$count$

• 插入新摊位：将新摊位插入到位置$k$（原摊位$k$之后），调整数组顺序。
• 左→右统计：遍历前$K$个摊位（$K=1 \sim N$），记录最低价格摊位。若新摊位是最低且最近，则累加对应$B_K$的比例。
• 右→左统计：反向遍历，逻辑类似，注意$K$值与$B_K$的映射关系（如右→左经过$K$个摊位对应$B_{n-K+1}$）。

3. 枚举所有位置和价格，选择最优解

• 双重循环枚举：遍历所有可能的位置$L$和候选价格$P$。
• 最优解选择：优先收入最大；若收入相同，选$L$最小；若$L$相同，选$P$最小。

示例验证（输入数据1）

输入：

5  
37 34 34 35 33  
10 20 30 30 10  

• 候选价格：现有价格为$37$、$34$、$34$、$35$、$33$，生成候选价格为$36$、$37$、$33$、$34$、$33$、$34$、$34$、$35$、$32$、$33$。去重排序后为$32$、$33$、$34$、$35$、$36$、$37$。
• 枚举位置$L=2$（原摊位2之后），价格$P=33$：
  • 左→右方向：买家经过$K=1 \sim 5$个摊位。插入新摊位后，价格数组为$[37,34,33,34,35,33]$。前$K$个摊位的最低价格摊位可能为新摊位（位置2），累加对应$B_K$的比例。
  • 右→左方向：反向遍历时，新摊位同样可能被选中，累加对应比例。
  • 总收入为$33 \times$总比例，为最大收入。

标程

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include<string>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<stack>
#include<list>
#include<iostream>
#include<map>
using namespace std;
#define inf 0x3f3f3f3f
#define Max 110
int max(int a,int b)
{
	return a>b?a:b;
}
int min(int a,int b)
{
	return a<b?a:b;
}
int n;
int pri[210],price[210],p[210],rat[210];
int count(int k,int p)
{
    int i,tmp;
    for(i=0;i<k;i++)
        pri[i]=price[i];
    for(i=k;i<n;i++)
        pri[i+1]=price[i];
    pri[k]=p;
    int minx=inf,cnt=0;
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        if(pri[i]<=minx)
        {
            minx=pri[i];
            tmp=i;
        }
        if(tmp>k)
            break;
        if(tmp==k)
            cnt+=rat[i];
    }
    minx=inf;
    for(i=n;i>0;i--)
    {
        if(pri[i]<=minx)
        {
            minx=pri[i];
            tmp=i;
        }
        if(tmp<k)
            break;
        if(tmp==k)
            cnt+=rat[n-i];
    }
    return p*cnt;
}
int main()
{
    int i,j,cnt;
    scanf("%d",&n);
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        scanf("%d",&price[i]);
        p[2*i]=price[i]-1;p[2*i+1]=price[i];
    }
    for(i=0;i<n;i++)
        scanf("%d",&rat[i]);
    sort(p,p+2*n);
    cnt=1;
    for(i=1;i<2*n;i++)
    {
        if(p[i]>p[i-1])
            p[cnt++]=p[i];
    }
    int ans=0;
    int tmp;
    int pos=1;
    int recp=p[0];
    for(i=1;i<n;i++)
        for(j=0;j<cnt;j++)
        {
          //  printf("p %d\n",p[j]);
            tmp=count(i,p[j]);
          //  printf("i %d j %d tmp %d\n",i,j,tmp);
            if(tmp>ans)
            {
                ans=tmp;
                pos=i;
                recp=p[j];
            }
        }
   // printf("ans %d\n",ans);
    printf("%d %d\n",pos,recp);
}

总结

本题通过枚举所有可能的位置和价格，结合买家行为模拟，计算预期收入，最终选择最优解。关键在于正确模拟买家选择逻辑（最低价格、同价选最近），并高效生成候选价格以覆盖可能的最优解。代码通过预处理候选价格和双重循环枚举，确保在合理复杂度内解决问题（$N \leq 100$时可行）。