弗里兰语安全句子计数问题题解

这个问题涉及到字符串匹配、自动机和动态规划的综合应用，主要考察AC自动机和状态转移的思想。

问题分析

问题描述： 给定一个包含N个字符的字母表和P个被禁止的单词，计算长度为M的句子中不包含任何禁止单词的数量。

关键思路：

1. 使用AC自动机预处理所有禁止单词
2. 利用动态规划在AC自动机上进行状态转移
3. 处理大数计算问题，确保结果正确

解题思路

1. AC自动机构建：

   • 将所有禁止单词插入到Trie树中
   • 构建失败指针，使自动机能够在匹配失败时跳转至正确位置
   • 标记所有包含禁止单词的节点

2. 动态规划状态转移：

   • 状态定义：f[i][j] 表示长度为i的字符串，当前在AC自动机的节点j的安全句子数量
   • 状态转移：对于每个节点和每个可能的字符，检查转移后的节点是否包含禁止单词
   • 初始状态：f[0][root] = 1
   • 结果：所有长度为M且不包含禁止单词的节点的状态之和

3. 大数处理：

   • 由于结果可能非常大，使用自定义的大整数类进行计算
   • 实现大整数的加法和输出功能

代码实现分析

AC自动机部分：

struct Tree {
    int child[305], fail, flag;
    void clear() {
        memset(child, 0, sizeof(child));
        fail = 0;
        flag = 0;
    }
};

struct Aho_Corasick_Automaton {
    int cnt;
    Tree tree[maxn];
    
    void init() {
        cnt = 1;
        memset(tree, 0, sizeof(tree));
    }
    
    void insert(char s[]) {
        // 将禁止单词插入Trie树
    }
    
    void buildfail() {
        // BFS构建失败指针
    }
};

动态规划部分：

BigInteger f[105][305], ans = 0;

// 初始化
f[0][1] = 1;

// 动态规划状态转移
for(int i = 1; i <= m; i++) {
    for(int j = 1; j <= ac.cnt; j++) {
        if(ac.tree[j].flag) continue; // 跳过包含禁止单词的节点
        for(int k = 0; k < n; k++) {
            if(ac.tree[ac.tree[j].child[k]].flag) continue; // 转移后节点包含禁止单词
            f[i][ac.tree[j].child[k]] += f[i-1][j];
        }
    }
}

// 计算结果
for(int i = 1; i <= ac.cnt; i++)
    if(!ac.tree[i].flag) ans += f[m][i];

大整数类部分：

struct BigInteger {
    static const int BASE = 10000;
    static const int WIDTH = 4;
    vector<int> s;
    
    // 构造函数和赋值运算符
    // 加法运算符重载
    // 输出运算符重载
};

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(M \times C \times N)$，其中C是AC自动机的节点数，N是字母表大小。
• 空间复杂度：$O(C + M \times C)$，主要用于存储AC自动机和动态规划数组。