矩阵和模最大值问题题解

这个问题涉及到一个三维矩阵中的模运算优化，主要考察前缀和数组、二分查找和集合操作的综合应用。

问题分析

问题描述： 给定一个3行N列的矩阵，每列有三个值。要求找到一个分割点k，使得以下表达式的值最大：

(S1[k] - S2[k-1]) mod M + (S3[N] - S3[k-1] + S2[k]) mod M

其中S1、S2、S3分别是三行的前缀和数组，M是给定的模数。

关键思路：

1. 预处理三行的前缀和数组
2. 枚举分割点k，维护一个集合存储前面所有k的(S1[k] - S2[k-1]) mod M值
3. 对于每个k，在集合中查找使得第二个表达式值最大的元素

解题思路

1. 前缀和数组：

   • 计算每行的前缀和数组，其中pre[i][j]表示第i行前j个元素的和模M的值

2. 枚举分割点：

   • 对于每个分割点k，计算两个关键值：
     • x1 = (pre[1][k] - pre[2][k-1]) mod M
     • x2 = (pre[3][N] - pre[3][k-1] + pre[2][k]) mod M

3. 集合优化：

   • 使用一个有序集合维护所有前面计算过的x1值
   • 对于每个x2，在集合中查找小于等于(mod - x2)的最大元素，以最大化(x2 + y) mod M

代码实现分析

关键数据结构：

const int MAXN = 100100;
long long mz[5][MAXN], pre[5][MAXN]; // 存储矩阵和前缀和数组
set<long long> st; // 维护x1值的有序集合

前缀和计算：

pre[1][0] = pre[2][0] = pre[3][0] = 0;
for(i = 1; i <= 3; i++)
    for(j = 1; j <= n; j++)
        pre[i][j] = (mz[i][j] + pre[i][j-1]) % mod;

枚举分割点并维护集合：

st.clear();
ans = 0;
for(i = 1; i <= n; i++)
{
    x1 = (pre[1][i] - pre[2][i-1] + mod) % mod;
    st.insert(x1); // 将当前x1加入集合
    
    x2 = (pre[3][n] - pre[3][i-1] + pre[2][i] + mod) % mod;
    it = st.lower_bound(mod - x2); // 查找第一个不小于(mod - x2)的元素
    ans = max(ans, (x2 + *(--it)) % mod); // 取前一个元素，计算最大值
}

主函数处理流程：

int main()
{
    long long n, mod, i, j, ans, x1, x2;
    while(~scanf("%lld%lld", &n, &mod))
    {
        // 读取矩阵
        for(i = 1; i <= 3; i++)
            for(j = 1; j <= n; j++)
                scanf("%lld", &mz[i][j]);
        
        // 计算前缀和
        // ...
        
        // 枚举分割点并计算最大值
        // ...
        
        printf("%lld\n", ans);
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(N log N)$，其中N是矩阵的列数。主要是枚举每个分割点并在集合中进行查找操作。
• 空间复杂度：$O(N)$，主要用于存储前缀和数组和集合。

这个算法通过预处理前缀和数组和使用有序集合快速查找最优解，高效地解决了问题。集合的lower_bound操作确保了每次查找的时间复杂度为O(log N)，使得整体算法能够处理较大的输入规模。