题解：Polynomial Showdown（P1555）

一、题目分析

本题要求将给定的多项式系数按规范格式输出，需遵循以下规则：

1. 项序规则：按降幂排列（从8次到0次）
2. 符号规则：
   • 首项为正不显示符号，负则显示$-$
   • 非首项通过$+$或$-$连接，空格分隔
3. 系数简化：
   • 系数为±1时：
     • 非常数项省略1（如$x^2$而非$1x^2$）
     • 常数项保留1（如$-1$）

二、代码解析（C++实现）

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;

const int nmax = 10;
int index[nmax];  // 存储多项式系数（0-8次）

// 判断绝对值是否为1
bool isAbsOne(int tar) { return abs(tar) == 1; }
// 判断是否为0
bool isZero(int tar) { return tar == 0; }

// 输出非首项（带符号和空格）
void Output(int now) {
    if (index[now] == 0) return;  // 零系数跳过
    
    // 输出符号和空格
    if (index[now] > 0) printf(" + ");
    else printf(" - ");
    
    // 处理不同次数的项
    if (now == 1) {  // 一次项
        if (index[now] == 1) printf("x");
        else printf("%dx", abs(index[now]));
    } else if (now == 0) {  // 常数项
        printf("%d", abs(index[now]));
    } else {  // 高次项
        if (index[now] == 1) printf("x^%d", now);
        else printf("%dx^%d", abs(index[now]), now);
    }
}

int main() {
    while (scanf("%d", &index[8]) != EOF) {  // 读取系数（从8次到0次）
        for (int i = 7; i >= 0; --i) scanf("%d", &index[i]);
        
        // 寻找最高次非零系数项
        int now = 8;
        while (index[now] == 0 && now >= 0) now--;
        
        // 全零系数处理
        if (now < 0) {
            printf("0\n");
            continue;
        }
        
        // 输出首项（无前导符号）
        if (isAbsOne(index[now])) {
            if (index[now] < 0) printf("-");  // 负号处理
            if (now == 1) printf("x");        // 一次项
            else if (now == 0) printf("1");   // 常数项
            else printf("x^%d", now);         // 高次项
        } else {
            if (index[now] < 0) printf("-");  // 负号处理
            if (now == 1) printf("%dx", abs(index[now]));  // 一次项
            else if (now == 0) printf("%d", abs(index[now]));  // 常数项
            else printf("%dx^%d", abs(index[now]), now);  // 高次项
        }
        
        // 输出剩余项（带符号和空格）
        for (int i = now - 1; i >= 0; --i) Output(i);
        printf("\n");
    }
    return 0;
}

三、关键步骤解析

1. 输入处理

   • 按降幂顺序读取9个系数（8次到0次）
   • 使用数组$index$存储各次项系数

2. 最高次非零项定位

   • 从8次项开始向前查找首个非零系数项
   • 若全零，直接输出$0$

3. 首项输出

   • 特殊处理系数±1：
     • 常数项保留1（$-1$）
     • 非常数项省略1（如$-x^3$）
   • 一次项省略指数（如$x$而非$x^1$）

4. 剩余项输出

   • 通过$Output$函数处理非首项：
     • 正系数输出$+$，负系数输出$-$
     • 按规则省略系数1（非常数项）
     • 正确处理不同次数的格式（如$x$、$x^2$）

四、示例验证

以输入$0 0 0 1 22 -333 0 1 -1$为例：

1. 系数数组（从低到高）：
   $[-1, 1, 0, -333, 22, 1, 0, 0, 0]$
   对应次数：$0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$

2. 最高次非零项：
   5次项（系数1），输出$x^5$

五、易错点与优化

1. 符号处理

   • 首项无前导符号，需单独判断
   • 非首项通过$Output$函数统一添加符号和空格

2. 系数简化

   • 系数为±1时，仅非常数项省略1
   • 常数项需保留完整系数（如$-1$）

3. 零系数处理

   • 遍历过程中跳过零系数项
   • 全零情况特殊处理为$0$

4. 复杂度分析

   • 时间复杂度：O(1)（固定9个系数）
   • 空间复杂度：O(1)（数组大小固定）

六、改进方向

1. 代码结构优化

   • 合并相似逻辑（如首项和非首项的处理）
   • 使用模板或宏简化重复代码

2. 输入处理优化

   • 使用$scanf$一次性读取一行，再解析系数
   • 处理非法输入（如非数字字符）

3. 扩展性

   • 支持任意次数的多项式（动态调整数组大小）
   • 添加系数范围检查（题目要求系数绝对值<1000）