解题思路：

计算在特定六边形网格布局下两点间的最短距离。先把笛卡尔坐标映射到六边形网格坐标，再结合网格特点算出网格内的最短路径，同时考虑两点到对应网格点的距离，综合得到最终最短距离。

分析：

1.贪心思想：在 tra 函数中，当将笛卡尔坐标转化为网格坐标时，对于每个初始映射得到的网格点，会遍历其周围六个相邻的网格点，计算每个相邻点到实际笛卡尔坐标点的距离，然后选择距离最近的网格点作为最终映射的网格坐标。这种每次都选择当前最优（距离最近）的选择，体现了贪心算法的思想，虽然这种局部最优选择不一定能保证全局最优，但在这个坐标映射的场景下，能得到一个较为合理的网格坐标表示。

2.距离计算：使用欧几里得距离公式 dis 函数计算两点间的直线距离，这是基础的几何计算。同时，在计算网格内两点间的距离时，充分利用了六边形的几何特性。例如，根据六边形的边长和角度关系（如 sin(pi/3) ）计算出网格的垂直和水平间距，并且在 solve 函数中根据网格坐标的差值（水平和垂直方向）结合六边形的几何特性计算出网格内的路径长度。

实现步骤：

1.输入处理：持续读取六边形边长和两点的笛卡尔坐标，直至输入全为 0。

2.初始化：算出六边形网格的垂直和水平间距，将笛卡尔坐标转为初始网格坐标，优化网格坐标。

3.距离计算：若两点网格坐标相同，直接返回直线距离；否则，算出网格坐标差值，结合网格几何特性算出网格内距离，再加上两点到对应网格点的距离。

4.输出结果：以保留三位小数的形式输出最短距离。

c++实现：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
const double pi = acos(-1.0);
const int d[6][2] = {{0, 2}, {0, -2}, {1, 1}, {1, -1}, {-1, 1}, {-1, -1}};
double l, xa, ya, xb, yb, hd, wd;
int xan, yan, xbn, ybn;
 
double dis(double x1, double y1, double x2, double y2) {
    return sqrt((x2 - x1) * (x2 - x1) + (y2 - y1) * (y2 - y1));
}
 
void tra(int &x, int &y, double xa, double ya) {
    if (x % 2) {
	if (y % 2 == 0) {
	    y++;
	}
    }
    else {
	if (y % 2) {
	    y++;
	}
    }
    int minx = x, miny = y;
    double mind = dis(x * wd, y * hd, xa, ya);
    for (int i = 0; i < 6; i++) {
	double xx = (d[i][0] + x) * wd;
	double yy = (d[i][1] + y) * hd;
	if (mind > dis(xx, yy, xa, ya)) {
	    minx = d[i][0] + x;
	    miny = d[i][1] + y;
	    mind = dis(xx, yy, xa, ya);
	}
    }
    x = minx; y = miny;
}
 
void init() {
    hd = sin(pi/3) * l;
    wd = l + l / 2;
    xan = xa / wd;
    yan = ya / hd;
    xbn = xb / wd;
    ybn = yb / hd;
    tra(xan, yan, xa, ya); tra(xbn, ybn, xb, yb);
}
 
double solve() {
    if (xan == xbn && yan == ybn)
	return dis(xa, ya, xb, yb);
    int xx = abs(xbn - xan), yy = abs(ybn - yan);
    double ans = dis(xa, ya, xan * wd, yan * hd) + dis(xb, yb, xbn * wd, ybn * hd) + xx * sin(pi/3) * 2 * l;
    if (yy > xx)
	ans += (yy - xx) * l * sqrt(3) / 2;
    return ans;
}
 
int main() {
    while (~scanf("%lf%lf%lf%lf%lf", &l, &xa, &ya, &xb, &yb) && l || xa || ya || xb || yb) {
	init();
	printf("%.3lf\n", solve());
    }
    return 0;
}