要解决这个齿轮比实现的问题，关键在于将机械传动的问题转化为数学上的质因数分解与覆盖问题。以下是详细的解题思路：

问题分析

齿轮传动比的计算规则是：总传动比等于各齿轮对传动比的乘积。若主动轮齿数为 $C_1$，从动轮齿数为 $C_2$，则该齿轮对的传动比为 $\frac{C_1}{C_2}$。整个系统的总传动比是各齿轮对传动比的乘积。

核心思路

1. 数学建模：
   设目标传动比为 $a:b$，约分后为 $\frac{p}{q}$（其中 $p = \frac{a}{\text{gcd}(a,b)}$，$q = \frac{b}{\text{gcd}(a,b)}$）。
   齿轮组中每个齿轮的齿数可表示为 $c_i = c \times k_i$，其中 $c$ 是齿轮组的最小齿数，$k_i$ 为整数（题目保证所有齿数是 $c$ 的倍数）。

2. 质因数分解：

   • 对 $p$ 和 $q$ 进行质因数分解，得到它们的质因数集合。
   • 若 $p$ 和 $q$ 的所有质因数都能由齿轮组的 $k_i$ 的质因数组合而成，则传动比可实现。

具体步骤

1. 预处理齿轮组：

   • 找到最小齿数 $c$，计算每个齿轮的 $k_i = \frac{c_i}{c}$。
   • 收集所有 $k_i$的质因数，形成可覆盖的质因数集合。

2. 处理目标传动比：

   • 计算 $\text{gcd}(a,b)$，将 $a:b$ 约分为 $\frac{p}{q}$。
   • 若 $q = 0$，直接不可实现（但题目中$b \geq 1$，故无需处理）。

3. 质因数覆盖检查：

   • 分解 $p$的质因数，检查每个质因数是否能被 $k_i$ 的质因数覆盖。
   • 分解 $q$ 的质因数，同样检查覆盖性。
   • 若 $p$ 和 $q$ 均满足覆盖条件，则传动比可实现。

C++实现：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 64;
const int M = 10010;
const int INF = 1 << 30;

int num[N], n, m, qa, qb;
bool stat[M]; // 全局状态数组，标记可实现的齿轮比

// 计算最大公约数（GCD）
int gcd(int a, int b) {
	return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}

// 判断 qa:qb 是否可以由已有的齿轮比组合得到
bool judge(int a, int b) {
	for (int i = 1; i * a < M && i * b < M; ++i) {
		if (stat[i * a] && stat[i * b]) {
			return true;
		}
	}
	return false;
}

// 预处理所有可能的齿轮比
void pre() {
	int i, j, tmp;
	cin >> n;
	int num_input[N]; // 使用固定大小的数组
	
	for (i = 0; i < n; ++i) {
		cin >> num_input[i];
	}
	
	// 收集所有可能的齿轮比（num[i]/num[j] 的约简形式）
	int temp_fac[N * N]; // 临时存储因子
	int top = 0;
	
	for (i = 0; i < n; ++i) {
		for (j = 0; j < n; ++j) {
			if (i == j) continue;
			if (num_input[i] % num_input[j] == 0) {
				temp_fac[top++] = num_input[i] / num_input[j];
			}
		}
	}
	
	// 初始化 stat 数组
	for (i = 0; i < M; ++i) {
		stat[i] = false;
	}
	stat[1] = true; // 1:1 是基础比例
	
	// 动态规划计算所有可能的齿轮比
	for (i = 0; i < top; ++i) {
		int current_fac = temp_fac[i];
		for (j = 1; j * current_fac < M; ++j) {
			if (stat[j]) {
				tmp = j * current_fac;
				if (tmp < M) {
					stat[tmp] = true;
				}
			}
		}
	}
}

int main() {
	int testcase, testid, a, b;
	cin >> testcase;
	
	for (testid = 1; testid <= testcase; ++testid) {
		pre(); // 预处理当前测试用例的齿轮比
		
		cin >> m;
		cout << "Scenario #" << testid << ":" << endl;
		
		while (m--) {
			cin >> a >> b;
			int d = gcd(a, b);
			qa = a / d;
			qb = b / d;
			
			if (judge(qa, qb)) {
				cout << "Gear ratio " << a << ":" << b << " can be realized." << endl;
			} else {
				cout << "Gear ratio " << a << ":" << b << " cannot be realized." << endl;
			}
		}
		
		cout << endl; // 输出空行分隔测试用例
		
		if (testid < testcase) {
			// 重置 stat 数组
			for (int i = 0; i < M; ++i) {
				stat[i] = false;
			}
		}
	}
	
	return 0;
}