这个问题涉及生成最小的$Ouroboros$数，并从中提取特定位置的数值。$Ouroboros$数是一种特殊的二进制数，其环形排列可以生成所有可能的$n$位二进制数组合。以下是对问题和解决方案的详细分析：

问题分析

1. Ouroboros数定义：

   • 一个$2ⁿ$位的二进制数
   • 首尾相连形成环形后，每次取$n$位连续比特
   • 能生成从$0$到$2ⁿ-1$的所有$n$位二进制数

2. 目标：

   • 找到最小的$Ouroboros$数
   • 实现函数$o(n;k)$返回该数环形结构中的第k个n位数值

算法思路

这个问题可以转化为在一个有向图中寻找欧拉回路：

• 节点：每个$n-1$位的二进制数（共$2ⁿ⁻¹$个节点）
• 边：每个节点有两条出边（$0$和$1$），表示在$n-1$位后添加$0$或$1$
• 欧拉回路：遍历所有边恰好一次，形成的路径即为$Ouroboros$数

代码实现

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#define maxn 1<<15
using namespace std;
vector<int>ans;
int cnt[maxn];

void dfs(int x, int tail) {
    while(cnt[x] < 2) {
        int v = (x << 1) + cnt[x];
        cnt[x]++;
        dfs(v & tail, tail);
        ans.push_back(v);
    }
}

int main() {
    int n, m, tail;
    while(scanf("%d%d", &n, &m) && (n + m)) {
        memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
        tail = (1 << (n - 1)) - 1;
        dfs(0, tail);
        printf("%d ", ans[ans.size() - 1 - m]);
        cout << endl;
    }
    return 0;
}