解题思路

1. 理解题意：题目定义了“诡秘数”以及“星乘”运算和取模运算，要求找到一个“逆诡秘数”$B$，使得$(A * B) \bmod Q$等于“壹数（ONE）”。需要明确各种运算规则和数据范围。
2. 构建方程组：根据“星乘”运算规则，对于每个位置$k$，可以得到一个关于“逆诡秘数”$B$中元素的方程。这样就构建出了一个线性方程组，其中未知数是“逆诡秘数”$B$的各个元素，系数由“诡秘数”$A$和“星乘”运算规则确定，常数项根据“壹数（ONE）”确定（对于第一个位置为1，其余位置为0 ）。
3. 高斯消元：使用高斯消元法对构建好的线性方程组进行处理。通过一系列的行变换，将方程组化为阶梯形矩阵，判断方程组是否有解。如果在消元过程中出现矛盾（如某一行等式左边为0，右边不为0 ），则方程组无解；否则方程组有解。
4. 深度优先搜索确定解：在确定方程组有解后，对于自由变量（即阶梯形矩阵中没有主元的列对应的变量），通过深度优先搜索（dfs函数）枚举其可能取值（因为元素取自集合$\{0, 1, 2\}$ ），尝试找到满足方程组的一组解。 首先B也是Sly Number，结合图中的等式，可以列出N个方程：

C[0] = (A[0]*B[0]) + ( A[1]*B[N-1] + A[2]*B[N-2] + ... + A[N-1]*B[1]) ;

C[1] = (A[0]*B[1] + A[1]*B[0]) + ( A[2]*B[N-1] + ... + A[N-1]*B[2] );

...

C[N-1] = (A[0]*B[N-1] + A[1]*B[N-2] +... A[N-1]*B[0]);

由模的定义，可知C[0] mod Q = 1, C[i] mod Q = 0 (i = 1, 2, ... N-1)

于是可以列出N个方程N个未知数的模线性方程组，利用图1的下标关系，将A[i]填入对应的系数矩阵中，用高斯消元化解增广矩阵为上三角梯阵，然后从N-1到0枚举B[i] 的取值(取值为0、1、2)，当B[i](0 < i < N)满足条件则递归枚举B[i-1]，知道所有的B[i]枚举完毕，则表明至少有一个解，否则无解。

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#include"cstdio"
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#include"cmath"
#include"queue"
#include"algorithm"
#include"iostream"
using namespace std;
int equ,var;
int x[55];
int a[55][55];
int nofree_num;
void debug()
{
    for(int i=0; i<equ; i++)
    {
        for(int j=0; j<=var; j++) printf("%d ",a[i][j]);
        puts("");
    }
    puts("");
}
int gcd(int x,int y)
{
    return y?gcd(y,x%y):x;
}
int lcm(int x,int y)
{
    return x/gcd(x,y)*y;
}
int dfs(int p,int q)     // 从矩阵下方向上枚举每个x[i]∈{0,1,2}  看等式是否成立，当成立时跳上上一行继续枚举， 如果当前行无解则返回0
{
    int i,j;
    if(p==-1) return 1;
    for(i=0; i<3; i++)
    {
        int tep=a[p][var];
        for(j=p+1; j<var; j++)
            tep=(tep%q-(x[j]*a[p][j])%q+q)%q;
        if((i*a[p][p])%q==tep)
        {
            x[p]=i;
            return dfs(p-1,q);
        }
    }
    return 0;
}
int gauss(int p)
{
    int i,j,k;
    int row,col;
    for(row=0,col=0; row<equ&&col<var; row++,col++)
    {
        int maxr=row;
        for(i=row+1; i<equ; i++) if(abs(a[i][col])>abs(a[maxr][col])) maxr=i;
        if(a[maxr][col]==0)
        {
            row--;
            continue;
        }
        for(i=0; i<=var; i++) swap(a[row][i],a[maxr][i]);
        for(i=row+1; i<equ; i++)
        {
            if(a[i][col])
            {
                int LCM=lcm(abs(a[row][col]),abs(a[i][col]));
                int ta=LCM/abs(a[row][col]);
                int tb=LCM/abs(a[i][col]);
                if(a[i][col]*a[row][col]<0) ta=-ta;
                for(j=col; j<=var; j++)
                    a[i][j]=((a[i][j]*tb)%p-(a[row][j]*ta)%p+p)%p;
            }
        }
    }
    for(i=row; i<equ; i++) if(a[i][var]) return 0;
    for(i=0; i<equ; i++)
    {
        if(a[i][i]==0)
        {
            for(j=i+1; j<var; j++) if(a[i][j]) break;
            if(j==var) break;
            for(k=0; k<equ; k++) swap(a[k][i],a[k][j]);
        }
    }
    nofree_num=row;
    return dfs(var-1,p);
}
int main()
{
    int t;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        int q,n;
        int A[55];
        int i,k;
        cin>>q>>n;
        equ=var=n;
        for(i=0; i<n; i++) cin>>A[i];
        memset(a,0,sizeof(a));
        for(k=0; k<n; k++)
        {
            for(i=0; i<=k; i++)  a[k][k-i]=A[i];
            for(i=k+1; i<=n-1; i++) a[k][n+k-i]=A[i];
        }
        a[0][var]=1;
        puts(gauss(q)?"A solution can be found":"No solution");
    }
}