解题思路

核心观察

1. 交点来源：

   • 水平线段只会与曲线的垂直段相交
   • 需要高效统计所有垂直段与水平线的交点

2. 递归结构利用：

   • Hₙ可视为由4个Hₙ₋₁通过变换组合而成
   • 交点总数 = 4个子区域交点和 + 中心连接段交点

高效算法设计

1. 坐标变换处理：

   • 将原始坐标转换到子曲线坐标系
   • 处理旋转和镜像变换对坐标的影响

2. 分类讨论：

   • 情况1：水平线段完全位于某个子区域 → 递归处理
   • 情况2：线段跨越多个子区域 → 分别计算各区域贡献
   • 特殊情况：线段穿过中心连接区域 → 直接计算固定交点

3. 数学推导：

   • 交点数的递推关系：
     • 基础情况（n=1）：直接判断
     • 递归情况：count(n) = 4*count(n-1) + center_crossings

边界条件处理

• 当n=1时，直接检查H₁的三种垂直线段
• 当线段与子区域无重叠时立即剪枝

示例解析

示例输入1

3 2 7 7

• 解释：
  • H₃曲线，水平线段从(2/8,7/8)到(7/8,7/8)
  • 位于上半部分，跨越两个子区域
  • 中心连接段贡献1个交点
  • 每个子区域贡献1个交点
• 输出：3

示例输入2

4 0 16 1

• 解释：
  • H₄曲线，水平线段覆盖整个宽度
  • 穿过所有子区域和中心连接段
  • 每个递归层级贡献固定数量交点
• 输出：16

示例输入3

30 1 1073741823 1

• 解释：
  • H₃₀曲线，线段几乎覆盖整个宽度
  • 利用递推公式直接计算结果
  • 避免逐段检查的暴力计算
• 输出：1073741822

算法优化要点

1. 避免暴力计算：

   • 直接计算交点数公式，而非遍历所有曲线段
   • 时间复杂度从O(2ⁿ)降为O(n)

2. 位运算加速：

   • 利用2的幂次特性，用位运算代替除法
   • 快速计算坐标所在的子区域

3. 记忆化技术：

   • 可缓存重复子问题的解（但对n≤30可能不必要）

实现注意事项

1. 大数处理：

   • 当n=30时，坐标值可达2³⁰（约10亿级）
   • 需使用64位整数（long long）

2. 精度控制：

   • 所有计算应保持整数运算
   • 避免浮点数精度误差

3. 递归深度：

   • 最大递归31层，栈空间充足