题目分析

我们需要计算满足特定条件的城市排列方案数。具体来说，每个城市的状态可以分为三种：">V"、"V"、"<"。通过动态规划（DP）来高效计算所有可能的排列数。

解题思路

1. 状态定义：

   • 设 $dp[i][0]$ 表示第 $i$ 个城市的状态为 ">V" 的方案数。
   • 设 $dp[i][1]$ 表示第 $i$ 个城市的状态为 "V" 的方案数。
   • 设 $dp[i][2]$ 表示第 $i$ 个城市的状态为 "<" 的方案数。

2. 状态转移：

   • ">V" 状态：只能由前一个城市的 ">V" 或 "V" 状态转移而来：$$dp[i][0] = dp[i-1][0] + dp[i-1][1]$$
   • "V" 状态：可以由前一个城市的任意状态转移而来：$$dp[i][1] = dp[i-1][0] + dp[i-1][1] + dp[i-1][2]$$
   • "<" 状态：同样可以由前一个城市的任意状态转移而来：$$dp[i][2] = dp[i-1][0] + dp[i-1][1] + dp[i-1][2]$$

3. 简化递推关系：

   • 观察到 $dp[i][1]$ 和 $dp[i][2]$ 的转移方程相同，因此可以合并计算。
   • 总方案数为三种状态之和：$$dp[i] = dp[i][0] + dp[i][1] + dp[i][2]$$
   • 代入转移方程后，可以推导出：$$dp[i] = 3 \times dp[i-1] + dp[i-2]$$

4. 初始条件：

   • 对于 $i=1$（第一个城市）：
     • $dp[1][0] = 1$（">V"）
     • $dp[1][1] = 1$（"V"）
     • $dp[1][2] = 1$（"<"）
     • 总方案数 $dp[1] = 3$。
   • 对于 $i=2$（第二个城市）：
     • 根据转移方程计算 $dp[2] = 3 \times dp[1] + dp[0]$（假设 $dp[0]=1$ 或根据实际情况调整）。

关键优化

• 高精度处理：
  • 由于 $n$ 可能很大（如 $n \leq 1000$），直接计算会超出普通整数范围，需要使用高精度算术（如大数运算）。
• 递推优化：
  • 利用矩阵快速幂或递推公式 $dp[i] = 3 \times dp[i-1] + dp[i-2]$ 加速计算。

复杂度分析

• 时间复杂度：
  • 递推计算每个 $dp[i]$ 的时间为 $O(1)$，总时间为 $O(n)$。
  • 若使用高精度运算，单次加法/乘法的复杂度为 $O(\text{位数})$，总时间可能为 $O(n^2)$（取决于高精度实现）。
• 空间复杂度：
  • 需要存储 $dp$ 数组，空间为 $O(n)$（或 $O(1)$ 如果仅保留最近两项）。

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

vector<int> multiply_by_three(const vector<int>& num) {
    vector<int> result;
    int carry = 0;
    for (int d : num) {
        int product = d * 3 + carry;
        result.push_back(product % 10);
        carry = product / 10;
    }
    if (carry != 0) {
        result.push_back(carry);
    }
    return result;
}

vector<int> subtract(const vector<int>& a, const vector<int>& b) {
    vector<int> result;
    int borrow = 0;
    for (int i = 0; i < a.size(); ++i) {
        int a_digit = a[i];
        a_digit -= borrow;
        int b_digit = (i < b.size()) ? b[i] : 0;
        if (a_digit < b_digit) {
            a_digit += 10;
            borrow = 1;
        } else {
            borrow = 0;
        }
        result.push_back(a_digit - b_digit);
    }
    while (result.size() > 1 && result.back() == 0) {
        result.pop_back();
    }
    return result;
}

void print_number(const vector<int>& num) {
    for (auto it = num.rbegin(); it != num.rend(); ++it) {
        cout << *it;
    }
    cout << endl;
}

int main() {
    vector<vector<int>> a(101);
    a[1] = {1};
    a[2] = {3};
    for (int i = 3; i <= 100; ++i) {
        vector<int> term1 = multiply_by_three(a[i-1]);
        vector<int> term2 = a[i-2];
        a[i] = subtract(term1, term2);
    }
    int n;
    while (cin >> n) {
        print_number(a[n]);
    }
    return 0;
}