1 条题解
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解题思路
算法设计
采用分治策略结合哈希映射技术解决多元方程求解问题:
核心思想
- 分治处理:将n个变量分成前后两半分别处理
- 哈希加速:利用map容器存储和查询中间结果
实现步骤
- 前半部分处理:
- 递归计算前n/2项的所有可能和S
- 将计算结果存储在countMap容器中
- 后半部分处理:
- 递归计算后n/2项的所有可能和
- 对每个和求负值-S
- 在countMap中查找是否存在相等的S
关键优化
技术 说明 优势 分治策略 将O(2^n)问题分解为两个O(2^(n/2))问题 显著降低时间复杂度 哈希映射 使用map容器存储中间结果 快速查询,时间复杂度O(1) 安全查询 使用count()而非直接访问 避免内存泄漏 注意事项
- 必须使用count()函数检查键是否存在
- 直接使用countMap[S]会创建新条目,导致内存膨胀
- 递归深度与n的大小相关,需注意栈溢出风险
#include <iostream> #include <map> using namespace std; int countN,n,m,mid,k[6],p[6]; map<int,int> countMap; // 搜索前一半 void findLeft(int xi, int temps){ if (mid == xi){ ++countMap[temps]; return; } int t; for (int i = 1; i <= m; ++i){ t = k[xi]; // xi的系数 if (t != 0 && i != 1) // 系数为0或xi=1时,则不用计算次数 for (int j = 0; j < p[xi]; ++j) // 计算xi的次方 t *= i; findLeft(xi + 1, temps + t); // 计算x[i+1],即下一个项 } } // 搜索另一半,并将结果返回至列表 void findRight(int xi, int temps){ if (xi == n){ temps = -temps; if (countMap.count(temps)) countN += countMap[temps]; return; } int t; for (int i = 1; i <= m; ++i){ t = k[xi]; // xi的系数 if (t != 0 && i != 1) // 系数为0或xi=1时,则不用计算次数 for (int j = 0; j < p[xi]; ++j) // 计算xi的次方 t *= i; findRight(xi + 1, temps + t); // 计算x[i+1],即下一个项 } } int main() { cin >> n >> m; mid = n / 2; for (int i = 0; i < n; ++i) cin >> k[i] >> p[i]; findLeft(0,0); findRight(mid, 0); cout << countN <<endl; }
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信息
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- 1000ms
- 内存
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