1 条题解

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    @ 2025-4-7 18:52:13

    解题思路

    算法设计

    采用分治策略结合哈希映射技术解决多元方程求解问题:

    核心思想

    • 分治处理:将n个变量分成前后两半分别处理
    • 哈希加速:利用map容器存储和查询中间结果

    实现步骤

    1. 前半部分处理
      • 递归计算前n/2项的所有可能和S
      • 将计算结果存储在countMap容器中
    2. 后半部分处理
      • 递归计算后n/2项的所有可能和
      • 对每个和求负值-S
      • 在countMap中查找是否存在相等的S

    关键优化

    技术 说明 优势
    分治策略 将O(2^n)问题分解为两个O(2^(n/2))问题 显著降低时间复杂度
    哈希映射 使用map容器存储中间结果 快速查询,时间复杂度O(1)
    安全查询 使用count()而非直接访问 避免内存泄漏

    注意事项

    • 必须使用count()函数检查键是否存在
    • 直接使用countMap[S]会创建新条目,导致内存膨胀
    • 递归深度与n的大小相关,需注意栈溢出风险
    #include <iostream>
    #include <map>
    using namespace std;
    int countN,n,m,mid,k[6],p[6];
    map<int,int> countMap;
     
    // 搜索前一半 
    void findLeft(int xi, int temps){
    	if (mid == xi){
    		++countMap[temps];
    		return;
    	}
    	
    	int t;	
    	for (int i = 1; i <= m; ++i){
    		t = k[xi]; // xi的系数 
    		if (t != 0 && i != 1) // 系数为0或xi=1时,则不用计算次数 
    			for (int j = 0; j < p[xi]; ++j) // 计算xi的次方 
    				t *= i;
    		findLeft(xi + 1, temps + t); // 计算x[i+1],即下一个项 
    	}
    }
     
    // 搜索另一半,并将结果返回至列表 
    void findRight(int xi, int temps){
    	if (xi == n){
    		temps = -temps;
    		if (countMap.count(temps))
    			countN += countMap[temps];
    		return;
    	}
    	
    	int t;
    	for (int i = 1; i <= m; ++i){
    		t = k[xi]; // xi的系数 
    		if (t != 0 && i != 1) // 系数为0或xi=1时,则不用计算次数 
    			for (int j = 0; j < p[xi]; ++j) // 计算xi的次方 
    				t *= i;
    		findRight(xi + 1, temps + t); // 计算x[i+1],即下一个项 
    	}
    } 
     
    int main()
    {
    	cin >> n >> m;
    	mid = n / 2;
    	for (int i = 0; i < n; ++i)
    		cin >> k[i] >> p[i];
    	findLeft(0,0);
    	findRight(mid, 0);
    	cout << countN <<endl;
    }
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    信息

    ID
    187
    时间
    1000ms
    内存
    256MiB
    难度
    10
    标签
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