🧠 题解（Solution）

1. 进制转换与数字表示

   • 数字 $R$ 可以是任意进制（$2 \sim 62$），其符号范围：
     • $0 \sim 9$ 表示 $0 \sim 9$
     • $A \sim Z$ 表示 $10 \sim 35$
     • $a \sim z$ 表示 $36 \sim 61$
   • 例如，字符 'A' 在 $11$ 进制下表示 $10$（十进制）。

2. 数学条件

   • 给定 $R$ 是 $N$ 进制数，且 $R$ 能被 $(N-1)$ 整除。
   • 根据数论性质，一个数 $R$ 在 $N$ 进制下能被 $(N-1)$ 整除，当且仅当 $R$ 的各位数字之和（按 $N$ 进制计算）能被 $(N-1)$ 整除。

3. 求解最小进制 $N$

   • 首先，确定数字 $R$ 中最大的字符对应的最小可能进制 $min\_base$。
   • 从 $min\_base$ 开始，逐步增加 $N$，检查 $(sum \mod (N-1) == 0)$ 是否成立。
   • 如果找到最小的 $N \geq min\_base$ 满足条件，则输出；否则判定为不可能。

📌 示例说明

• 输入 "3"

  • 可能是 $4$ 进制（因为 $3$ 在 $4$ 进制下表示 $3_{10}$），且 $3 \mod (4-1) = 0$。
  • 输出 $4$。

• 输入 "5"

  • 可能是 $6$ 进制（$5_{10} \mod 5 = 0$）。
  • 输出 $6$。

• 输入 "A"

  • 'A' 表示 $10$，最小进制是 $11$，且 $10 \mod (11-1) = 0$。
  • 输出 $11$。

🔍 解题思路

1. 字符转换
   • 将输入字符串的每个字符转换为对应的数值（$0 \sim 61$）。
2. 计算最小可能进制
   • $min\_base = \text{(最大字符对应数值)} + 1$。
3. 检查可能的 $N$
   • 计算数字各位之和 $sum$。
   • 遍历 $N$ 从 $min\_base$ 到 $62$，检查 $(sum \mod (N-1) == 0)$。
   • 找到则返回 $N$，否则判定不可能。

边界情况

• 若输入为 "0"，任何 $N \geq 2$ 都满足（$0$ 能被任何数整除），故最小 $N=2$。
• 若数字只有一位（如 "A"），则 $N$ 必须满足 $digit \mod (N-1) = 0$。

最终输出格式

• 对每个输入，输出最小满足条件的 $N$ 或 "such number is impossible!"。

示例输出

1: 4  
2: 6  
3: 11  

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
using namespace std;
char a[100000];
int main()
{
	int i,s,len,max;
	bool d;
	while(scanf("%s",a)!=EOF)
	{
		len=strlen(a);
		s=0;
		max=0;               //max记录所能代表的最小进制数(比如数字里面有B,则这个进制至少也是12吧。。。)
		for(i=0;i<len;i++)             //接下来的过程,不要怀疑.经过验证了的
		{	//(如果这个n进制的数能取余n-1等于0,则这个数的各个位数相加也要能取余n-1等于0,这样问题变简单咯)[这个很容易证明的,不妨试试]
			if (a[i]>='0'&&a[i]<='9')
			{
				if (a[i]-'0'>max) max=a[i]-'0';
				s=s+a[i]-'0';
			}
			if (a[i]>='a'&&a[i]<='z')
			{
				if (a[i]-'a'+36>max) max=a[i]-'a'+36;
				s=s+a[i]-'a'+36;
			}
			if (a[i]>='A'&&a[i]<='Z')
			{
				if (a[i]-'A'+10>max) max=a[i]-'A'+10;
				s=s+a[i]-'A'+10;
			}
		}
		d=false;
		for(i=2;i<=62;i++)
			if (s%(i-1)==0&&max<i) {d=true;break;}
		if (d) printf("%d\n",i);
		else
			printf("such number is impossible!\n");
	}
	return 0;
}