题目分析

问题描述

我们有一个由火柴棒组成的$n \times n$网格，其中：

• 完整网格包含$2n(n+1)$根火柴棒
• 每个正方形由4条边的火柴棒组成
• 需要找到最少移除的火柴棒数量，使得网格中不再存在任何完整的正方形

输入输出

• 输入：网格大小$n$和已移除的火柴棒编号
• 输出：需要额外移除的最少火柴棒数

解题思路

1. 问题建模

将问题转化为集合覆盖问题：

• 设所有火柴棒集合为$E$
• 每个正方形$s_i$对应一个火柴棒子集
• 目标：选择最小子集$E' \subseteq E$，使得：$$\forall s_i, s_i \cap E' \neq \emptyset$$

2. 算法选择

采用IDA*算法（迭代加深搜索+启发式评估）：

• 状态表示：当前已移除的火柴棒集合
• 启发函数$h()$：估计剩余需要移除的火柴棒数$$h = \text{未被破坏的正方形数}$$
• 搜索策略：

  while not solution_found:
      max_depth += 1
      if dfs(0, max_depth):
          return max_depth
  

3. 关键步骤

1. 预处理所有正方形：

   • 对于每个可能的正方形，记录其四条边的火柴棒编号

2. 可行性检查：

   $$\text{check}(s) = \bigwedge_{e \in s} \neg \text{used}[e] $$

3. IDA*核心：

   • 使用深度优先搜索尝试移除火柴棒
   • 通过启发函数剪枝优化搜索

数学表达

1. 目标函数：

   $$\min |E'| \quad \text{s.t.} \quad \bigwedge_{s \in S} (s \cap E' \neq \emptyset) $$

2. 启发函数：

   $$h(state) = \left| \{ s \in S \mid \text{check}(s) = \text{true} \} \right| $$

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(b^d)$，其中$b$为分支因子，$d$为解深度
• 空间复杂度：$O(n^3)$（存储所有正方形信息）

代码实现

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
using namespace std;

const int N = 61;      // 网格最大是 5 * 5 的，其中最多会有 5 * (5 + 1) * 2 = 60 个正方形，所以要开到 61
int n, idx;            // n 为网格规模，idx 为正方形数量
int max_depth;         // IDA* 的 max_depth
vector<int> square[N]; // 存每个正方形边上的火柴的编号
bool used[N];          // 存每个火柴是否已经被破坏
// 新加一个左上角坐标为 (r, c)，边长为 len 的正方形
void add(int r, int c, int len)
{
    int d = n << 1 | 1;  // 由于用到的 2n + 1 比较多，这里先用一个变量代替掉 2n + 1
    vector<int> &s = square[idx];
    s.clear(); // 有多组测试数据，需要上一组数据的内容清空
    for (int i = 0; i < len; i ++ )
    {
        s.push_back(1 + r * d + c + i);               // 上边第 i 个
        s.push_back(1 + (r + len) * d + c + i);       // 下边第 i 个
        s.push_back(1 + n + r * d + c + i * d);       // 左边第 i 个
        s.push_back(1 + n + r * d + c + i * d + len); // 右边第 i 个
    }
    idx ++ ;
}
// 判断正方形 s 是否完整
bool check(vector<int> &s)
{
    for (int i = 0; i < (int)s.size(); i ++ )
        if (used[s[i]]) 
			return false; // 如果其中有一条边已经被破坏了，那么说明不完整
    return true; // 如果每条边都没被破坏，说明完整
}
// 估价函数
int f()
{
    static bool backup[N]; // 由于要改动 used，需要先新建一个备份数组
    memcpy(backup, used, sizeof used); // 将 used 复制到备份数组中
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < idx; i ++ ) // 枚举所有正方形
        if (check(square[i]))       // 如果某个正方形是完整的，
        {
            res ++ ;                // 那么 res ++ ，并将该正方形所有的边都删去
            for (int j = 0; j < (int)square[i].size(); j ++ )
                used[square[i][j]] = true;
        }
    memcpy(used, backup, sizeof used); // 复制回来
    return res;
}

// IDA*
bool dfs(int depth)
{
    if (depth + f() > max_depth) return false;
    for (int i = 0; i < idx; i ++ ) // 枚举所有的正方形
        if (check(square[i]))       // 如果第 i 个正方形还没被破坏
        {// 那么枚举该正方形的所有边编号，去掉该边并继续爆搜
            for (int j = 0; j < (int)square[i].size(); j ++ )
            {
                used[square[i][j]] = true;
                if (dfs(depth + 1)) return true;
                used[square[i][j]] = false;
            }
            return false;// 如果每条边都爆搜不成功，那么说明删掉 max_depth 个火柴无法破坏该正方形
        }
    return true; // 如果所有的正方形都被破坏了，返回 true
}

int main()
{
    int T;scanf("%d",&T);
    while (T -- )
    {
        scanf("%d", &n), idx = 0; // 初始化 idx
        memset(used, false, sizeof used); // 初始化 used
        for (int len = 1; len <= n; len ++ ) // 枚举 len, r, c，预处理每个正方形
            for (int r = 0; r + len <= n; r ++ )
                for (int c = 0; c + len <= n; c ++ )
                    add(r, c, len);
        int k;scanf("%d", &k);
        while (k -- )  // 读入所有已经被破坏的边
        {
            int x;scanf("%d", &x);
            used[x] = true;
        }
        max_depth = 0; // IDA*
        while (!dfs(0)) max_depth ++ ;
        printf("%d\n", max_depth);
    }
    return 0;
}