题意分析

题目背景

本题属于逆向搜索与路径验证问题，描述机器人Tom在网格场地中追逐Jerry幻象的过程。关键点在于根据模糊的移动记录，逆向推导所有可能的初始位置。

核心问题

1. 场地建模：
   • $m \times n$的网格，0表示可通行，1表示障碍物。
2. 移动规则：
   • 每次移动为单一方向（上、下、左、右）。
   • 移动步数记录为区间$[a,b]$（如1-2 R表示向右移动1到2步）。
3. 目标：
   • 计算所有满足移动记录的初始位置数量。

输入输出

• 输入：
  • 测试用例数$t$。
  • 每个测试用例包含：
    • 网格行列数$m,n$。
    • 网格数据（$m \times n$的0/1矩阵）。
    • 移动记录序列（步数区间+方向），以0 0结束。
• 输出：可能的初始位置数量。

解题思路

1. 逆向思维

• 从终点反推：假设Tom最终回到原点，逆向验证每条移动记录。
• 步数区间处理：将区间$[a,b]$转换为$b$步反向移动（如1-2 R变为向左移动1-2步）。

2. 深度优先搜索（DFS）

1. 参数设计：
   • $(x,y)$：当前位置。
   • $co$：当前移动步数。
   • $step$：当前处理的移动记录索引。
2. 终止条件：
   • 处理完所有移动记录（$step = num$）。
3. 递归逻辑：
   • 若当前步数在区间内（$co \in [a,b]$），尝试处理下一条记录。
   • 若可继续移动（$co < b$），向反方向移动一步。

3. 可行性剪枝

• 边界检查：确保移动后仍在网格内。
• 障碍物检查：移动路径必须无障碍。

算法实现

代码框架

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

int mp[110][110], n, m, T, num, ans;
int dx[] = {0, 0, 1, -1}, dy[] = {-1, 1, 0, 0}; 
struct mmm {
    int le, mo, dir;
} mv[1000];

bool dfs(int x, int y, int co, int step) {
    if (step == num) { 
        return true;
    }
    if (co >= mv[step].le && co <= mv[step].mo) { 
        if (dfs(x, y, 0, step + 1))
            return true;
    }
    if (co < mv[step].mo) {
        int nx = x + dx[mv[step].dir], ny = y + dy[mv[step].dir];
        if (nx >= 0 && nx < m && ny >= 0 && ny < n && mp[nx][ny] == 0)
            if (dfs(nx, ny, co + 1, step))
                return true;
    }
    return false;
}

int main() {
    scanf("%d", &T);
    while (T--) {
        scanf("%d%d", &m, &n);
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                scanf("%d", &mp[i][j]);
            }
        }
        num = 0; 
        while (scanf("%d%d", &mv[num].le, &mv[num].mo), mv[num].le || mv[num].mo) {
            char f;
            cin >> f;
            if (f == 'L')
                mv[num++].dir = 0;
            else if (f == 'R')
                mv[num++].dir = 1;
            else if (f == 'D')
                mv[num++].dir = 2;
            else if (f == 'U')
                mv[num++].dir = 3;
        } 
        ans = 0;
        for (int i = 0; i < m; i++)
            for (int j = 0; j < n; j++)
                if (mp[i][j] == 0)
                    if (dfs(i, j, 0, 0)) ans++; 
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}

关键步骤

1. 输入处理：读取网格和移动记录，存储方向为数字索引。
2. DFS搜索：
   • 从每个无障碍位置$(i,j)$出发，逆向验证移动记录。
   • 步数区间通过递归参数$steps$控制。
3. 结果统计：统计所有满足条件的初始位置。

复杂度分析

• 时间：$O(t \cdot m \cdot n \cdot k \cdot b_{\text{max}})$，其中$k$为移动记录数，$b_{\text{max}}$为最大步数。
• 空间：$O(m \cdot n)$，存储网格和移动记录。