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回溯算法，贪心算法，图论

问题描述

猎人鲍勃带着他的狗拉尔夫沿着多边形路线散步。鲍勃以恒定速度行走，路线由N个顶点组成。拉尔夫可以在鲍勃移动时访问一些有趣的地方，但有以下限制：

拉尔夫的速度最多是鲍勃的两倍

在两个会合点之间最多只能访问一个有趣的地方

每个有趣的地方最多被访问一次

目标是找到拉尔夫能访问最多有趣地方的路线。

解题思路

方法选择 这个问题可以建模为一个图遍历问题，其中：

节点是鲍勃的路径点和有趣的地方

边表示狗可以在主人移动的同时完成的路径

我们采用回溯算法结合贪心策略来解决这个问题，原因如下：

问题规模较小$(N,M ≤ 100）$，回溯法可行

需要尝试所有可能的兴趣点组合，回溯法适合这种组合搜索

贪心策略可以帮助我们优先选择更有潜力的路径

算法步骤

预处理阶段：

计算鲍勃每段路径的长度

确定在每个路径段可以访问哪些兴趣点（满足速度限制）

回溯搜索：

从起点开始，尝试两种选择：

直接前往下一个会合点

绕道访问一个可行的兴趣点，再去会合点

记录访问过的兴趣点，避免重复访问

维护当前最优解

剪枝优化：

如果当前路径已不可能超过已知最优解，提前终止搜索

优先尝试可能带来更多兴趣点的路径

代码实现

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <unordered_set>
#include <climits>
#include <functional> 

using namespace std;

struct Point {
    int x, y;
    Point(int x = 0, int y = 0) : x(x), y(y) {}
    bool operator==(const Point& other) const {
        return x == other.x && y == other.y;
    }
};

namespace std {
    template<> struct hash<Point> {
        size_t operator()(const Point& p) const {
            return hash<int>()(p.x) ^ hash<int>()(p.y);
        }
    };
}

double distance(const Point& a, const Point& b) {
    return sqrt(pow(a.x - b.x, 2) + pow(a.y - b.y, 2));
}

bool canVisit(const Point& prev, const Point& next, const Point& dogPrev, const Point& dogNext, double bobDist) {
    double dogDist = distance(dogPrev, dogNext);
    return dogDist <= 2 * bobDist;
}

vector<Point> findOptimalRoute(int N, const vector<Point>& bobPath, int M, const vector<Point>& interesting) {
    vector<Point> bestRoute;
    int maxPoints = 0;

    // 预处理所有可能访问的兴趣点
    vector<vector<int>> reachable(N);
    for (int i = 1; i < N; ++i) {
        double bobDist = distance(bobPath[i-1], bobPath[i]);
        for (int j = 0; j < M; ++j) {
            if (canVisit(bobPath[i-1], bobPath[i], bobPath[i-1], interesting[j], bobDist) &&
                canVisit(interesting[j], bobPath[i], interesting[j], bobPath[i], distance(interesting[j], bobPath[i]))) {
                reachable[i].push_back(j);
            }
        }
    }

    // 使用回溯法尝试所有可能的兴趣点组合
    vector<Point> currentRoute = {bobPath[0]};
    unordered_set<int> visited;

    // 定义backtrack函数
    function<void(int, int)> backtrack = [&](int pos, int points) {
        if (pos == N - 1) {
            if (points > maxPoints || (points == maxPoints && currentRoute.size() < bestRoute.size())) {
                maxPoints = points;
                bestRoute = currentRoute;
            }
            return;
        }

        // 不访问任何兴趣点
        currentRoute.push_back(bobPath[pos + 1]);
        backtrack(pos + 1, points);
        currentRoute.pop_back();

        // 尝试访问一个兴趣点
        for (int j : reachable[pos + 1]) {
            if (visited.find(j) == visited.end()) {
                visited.insert(j);
                currentRoute.push_back(interesting[j]);
                currentRoute.push_back(bobPath[pos + 1]);
                backtrack(pos + 1, points + 1);
                currentRoute.pop_back();
                currentRoute.pop_back();
                visited.erase(j);
            }
        }
    };

    backtrack(0, 0);
    return bestRoute;
}

int main() {
    int N, M;
    cin >> N >> M;

    vector<Point> bobPath(N);
    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        cin >> bobPath[i].x >> bobPath[i].y;
    }

    vector<Point> interesting(M);
    for (int i = 0; i < M; ++i) {
        cin >> interesting[i].x >> interesting[i].y;
    }

    vector<Point> route = findOptimalRoute(N, bobPath, M, interesting);

    cout << route.size() << endl;
    for (size_t i = 0; i < route.size(); ++i) {
        if (i > 0) cout << " ";
        cout << route[i].x << " " << route[i].y;
    }
    cout << endl;

    return 0;
}