题意理解
有 ( L ) 把真锁和 ( K ) 把假钥匙，总钥匙数为 ( L+K )。
( N ) 个人轮流尝试，每人每次选一把钥匙和一把锁，以最大化当前尝试的成功概率。
若成功则钥匙和锁都移除，否则钥匙保留但知道它打不开该锁。
目标是打开所有 ( L ) 把锁，求每个人成功开锁的期望次数。

关键观察

1. 状态描述
   设当前剩余真锁数 ( i )，剩余假钥匙数 ( k )，轮到第 ( j ) 个人操作（1 ≤ j ≤ N）。
   由于循环轮流，只需记录当前轮到谁。

2. 最优策略
   每次选择钥匙和锁时，若存在“已知匹配”（即某钥匙已知能打开某锁），则必然选它（概率 1）。
   否则所有未尝试组合概率相等，需最大化成功概率：

   • 若选择真钥匙 + 真锁：概率 ( \frac{1}{i+k} )（因为真钥匙均匀随机匹配真锁）。
   • 若选择假钥匙 + 真锁：概率 0。
     所以最优策略是选一对真钥匙和真锁（若存在），否则只能随机试。

3. 动态规划
   定义 ( dp[i][k][j] ) 表示剩余 ( i ) 把真锁、( k ) 把假钥匙，当前轮到第 ( j ) 个人时，该人未来成功开锁的期望次数。
   由于对称性，( j ) 可映射为相对位置，用循环处理。

4. 转移分析
   当前操作者选择一对“真钥匙-真锁”组合：

   • 成功概率 ( p = \frac{1}{i+k} )，成功则获得 1 次成功，状态转移为 ( dp[i-1][k][j+1] )。
   • 失败概率 ( 1-p )，失败后得知该钥匙打不开该锁，但可推断信息，影响后续概率。
     失败后的推断是关键：
     • 若选择的钥匙是第 ( x ) 把真钥匙（按某种顺序），锁是第 ( y ) 把真锁，则失败说明该钥匙匹配其他锁。
     • 根据已有失败信息，可能缩小匹配可能，从而提高后续成功概率。

5. 推断信息处理
   用“匹配图”建模：真钥匙与真锁构成完全二分图，每次失败删除一条边。
   最优策略会优先选择度最小的钥匙和锁（最大化成功概率）。
   经过推导，失败后的状态可以归约为 ( dp[i-1][k][j+1] ) 或 ( dp[i][k-1][j+1] ) 等，但需加权平均所有可能的选择。

6. 代码中的转移分类

   • ippatsu：直接成功的情况。
   • choose ---：选择后失败，但根据位置信息更新概率。
   • choose |：另一种失败情况。
   • 假钥匙参与的情况。

7. 预处理与循环
   预处理逆元 ( inv[i] ) 用于模运算。
   循环处理 ( i ) 从 1 到 ( L )，( k ) 从 0 到 ( K )，计算所有 ( dp[i][k][*] )。
   最终输出 ( dp[L][K][1..N] )。

算法标签

• 概率期望 DP
• 博弈论与最优策略
• 循环状态转移
• 模运算与逆元

复杂度
状态数 ( O(L \cdot K \cdot N) )，转移 ( O(N) )，总复杂度 ( O(L \cdot K \cdot N^2) )。
本题 ( N \leq 50, L \leq 5000, K \leq 50 )，可过。

样例验证
样例 1：( N=3, L=1, K=4 )
每人成功概率依次 ( 2/5, 2/5, 1/5 )，对应模意义下输出匹配。
样例 2：( N=3, L=2, K=0 )
推导期望 ( 1/2, 1, 1/2 )，输出匹配。