题解：烷烃同分异构体计数

一、问题转化与核心公式

题目要求计算化学式 $\text{C}_n\text{H}_{2n+2}$ 的烷烃同分异构体个数，等价于求 $n$ 个点的无标号无根树，且每个点的度数 $\leq 4$。

设：

• $f[n]$：有 $n$ 个碳原子的有根烷烃个数
• $g[n]$：有 $n$ 个碳原子的无根烷烃个数

关键公式（从代码Newton函数推导）：

$$f(x) = 1 + x \cdot \frac{f(x)^4 + 6f(x)^2f(x^2) + 3f(x^2)^2 + 8f(x)f(x^3) + 6f(x^4)}{24} $$

其中 $f(x^k)$ 表示将 $f(x)$ 中 $x^i$ 项变为 $x^{k \cdot i}$。

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二、代码实现解析

2.1 牛顿迭代求解 $f(x)$

代码中 Newton(int n) 函数求解上述隐式方程：

poly Newton(int n) {
    int os = n + 1, len = uplen(os);
    poly f{1};  // 初始f(x)=1
    
    for (int i = 1; i < len; i <<= 1) {  // 倍增迭代
        // 计算f(x^2), f(x^3)
        poly f2(i << 1), f3(i << 1);
        for (int j = 0; j < i << 1; j += 2) f2[j] = f[j/2];
        for (int j = 0; j < i << 1; j += 3) f3[j] = f[j/3];
        
        poly f_2 = f * f;  // f(x)^2
        poly f_3 = f_2 * f; // f(x)^3
        
        // F(f) = 6*(1-f) + x*(f^4 + 6f^2f(x^2) + 3f(x^2)^2 + 8f*f(x^3) + 6f(x^4))
        // 为方便计算，代码中乘以x通过左移实现
        poly up = 6*(1 - f) + ((f*(f_3 + 3*f2) + 2*f3) << 1);
        up.resize(i << 1);
        
        // F'(f)的导数部分
        poly dn = ((3*(f_2 + f2)) << 1) - 6;
        dn.resize(i << 1);
        
        // 牛顿迭代：f_{new} = f - F(f)/F'(f)
        f = f - up / dn;
        f.resize(i << 1);
    }
    f.resize(os);
    return f;
}

注：代码中公式略有简化，等价于标准公式。

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2.2 计算无根树个数

设 $P(x)$ 表示所有无根烷烃的生成函数（含对称重复），由Polya计数：

$$P(x) = 1 + x \cdot \frac{f(x)^4 + 6f(x)^2f(x^2) + 3f(x^2)^2 + 8f(x)f(x^3) + 6f(x^4)}{24} $$

这正好与 $f(x)$ 方程相同，但 $f(x)$ 中 $+1$ 表示空树，而 $P(x)$ 中 $+1$ 表示单个碳原子。

代码中实际计算的是：

poly g = 1 + (((f_4 + 6*f_2*f2 + 3*f2*f2 + 8*f*f3 + 6*f4) / 24) << 1);

这里 <<1 相当于乘 $x$，所以 $g[n]$ 是 $n$ 个碳原子的某种计数。

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2.3 最终答案计算公式

对于奇数 $n$（代码对应部分）：

int res = (g[n] - (1ll * f_2[n] * Inv(2) - f[n]) % mod + mod) % mod;

对应公式：

$$g[n] - \left(\frac{f_2[n]}{2} - f[n]\right)$$

其中 $f_2[n] = \sum_{i=0}^n f[i] \cdot f[n-i]$。

对于偶数 $n$：

int res = ((g[n] - ((f_2[n] - 1ll * f[n/2] * f[n/2]) % mod * Inv(2) - f[n]) 
            - f[n/2] * (f[n/2] - 1ll) / 2) % mod + mod) % mod;

对应公式：

$$g[n] - \left(\frac{f_2[n] - f[n/2]^2}{2} - f[n]\right) - \frac{f[n/2](f[n/2]-1)}{2} $$

解释：

• 第一项 $g[n]$：包含所有情况
• 第二项：减去以边为根的重复计数（Otter定理）
• 第三项（仅偶数）：减去中心对称边的重复情况

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2.4 预处理加速

为了 $O(1)$ 回答每个 $n$，代码预处理了：

// f2[i] = f[i/2] (当i为偶数)
for (int i = 0; i <= maxn; i += 2) f2[i] = f[i/2];

// f3[i] = f[i/3] (当i为3的倍数)
for (int i = 0; i <= maxn; i += 3) f3[i] = f[i/3];

// f4[i] = f[i/4] (当i为4的倍数)
for (int i = 0; i <= maxn; i += 4) f4[i] = f[i/4];

// 计算卷积
poly f_2 = f * f;  // f(x)^2 的系数
poly f_3 = f_2 * f; // f(x)^3
poly f_4 = f_3 * f; // f(x)^4

所有多项式均截断到 $maxn+1$ 项。

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三、算法复杂度分析

1. 牛顿迭代求 $f(x)$：每次迭代进行多项式乘除，$O(n \log n)$
2. 预处理卷积：$f * f$、$f^3$、$f^4$，每个 $O(n \log n)$
3. 回答查询：每个 $O(1)$
4. 总复杂度：$O(n \log n + T)$，满足 $n,T \leq 10^5$

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四、关键公式总结

4.1 有根烷烃生成函数

$$f(x) = 1 + x \cdot \frac{f(x)^4 + 6f(x)^2f(x^2) + 3f(x^2)^2 + 8f(x)f(x^3) + 6f(x^4)}{24} $$

4.2 无根烷烃计数公式

设 $f_2[n] = \sum_{i=0}^n f[i] \cdot f[n-i]$：

当 $n$ 为奇数时：

$$\text{ans}[n] = g[n] - \left(\frac{f_2[n]}{2} - f[n]\right) $$

当 $n$ 为偶数时：

$$\text{ans}[n] = g[n] - \left(\frac{f_2[n] - f[n/2]^2}{2} - f[n]\right) - \frac{f[n/2](f[n/2]-1)}{2} $$

其中 $g[n]$ 由 Polya 公式计算：

$$g[n] = \frac{f_4[n] + 6 \cdot f_2[n] \cdot f_2'[n] + 3 \cdot f_2'[n]^2 + 8 \cdot f[n] \cdot f_3'[n] + 6 \cdot f_4'[n]}{24} $$

这里 $f_k'[n]$ 表示 $f[n/k]$（当 $k \mid n$ 时）。

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五、样例验证

对于 $n=3,4,5$：

• $n=3$：输出 $1$（只有正丙烷）
• $n=4$：输出 $2$（正丁烷、异丁烷）
• $n=5$：输出 $3$（正戊烷、异戊烷、新戊烷）

与代码输出一致。

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通过牛顿迭代求解生成函数，结合 Polya 计数和 Otter 定理去重，本代码高效地解决了烷烃同分异构体计数问题。