1. 理解问题

我们考虑一个 n 维立方体（超立方体），问它包含多少个 m 维“基础图形”（即 m 维面）。

已知：

• 0 维基础图形：点（顶点）
• 1 维基础图形：边（线段）
• 2 维基础图形：面（正方形）
• 3 维基础图形：立方体
• ……

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2. 从低维例子找规律

n=2（正方形）

• m=0（点）：4 个顶点 → $4 = 2^2$
• m=1（边）：4 条边 → $4 = \binom{2}{1} \cdot 2^{2-1} = 2 \cdot 2$
• m=2（面）：1 个面 → $1 = \binom{2}{2} \cdot 2^{0}$

n=3（立方体）

• m=0（点）：8 个顶点 → $8 = 2^3$
• m=1（边）：12 条边 → $12 = \binom{3}{1} \cdot 2^{2} = 3 \cdot 4$
• m=2（面）：6 个面 → $6 = \binom{3}{2} \cdot 2^{1} = 3 \cdot 2$
• m=3（体）：1 个立方体 → $1 = \binom{3}{3} \cdot 2^{0}$

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3. 一般公式

一个 n 维立方体 是由所有坐标 $(x_1, x_2, \dots, x_n)$ 组成的，其中 $x_i \in \{0,1\}$。

一个 m 维面 可以通过以下方式得到：

• 从 n 个维度中选出 m 个“自由维度”，这些维度可以在区间 [0,1] 中连续变化（形成 m 维立方体）。
• 剩下的 n-m 个维度固定为 0 或 1（确定这个 m 维面的位置）。

步骤：

1. 选择哪 m 个维度是自由的：$\binom{n}{m}$ 种选法。
2. 对于 n-m 个固定维度，每个可以固定为 0 或 1：$2^{n-m}$ 种固定方式。

因此，m 维面的个数为：

$$\boxed{\binom{n}{m} \cdot 2^{n-m}}$$

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4. 验证特例

• $m = 0$：$\binom{n}{0} \cdot 2^{n} = 2^n$（顶点数） ✅
• $m = n$：$\binom{n}{n} \cdot 2^{0} = 1$（整个 n 维立方体） ✅
• $m = 1$：$\binom{n}{1} \cdot 2^{n-1} = n \cdot 2^{n-1}$（边数） ✅

与已知结论一致。

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5. 模运算与实现

我们需要对 $T \le 10^5$，$n, m \le 10^5$ 进行快速计算，模 $998244353$。

步骤：

1. 预处理阶乘 $fact[i]$ 和阶乘的逆元 $invfact[i]$，范围 $[0, N]$，$N=10^5$。
2. 组合数计算：

$$\binom{n}{m} = \frac{fact[n]}{fact[m] \cdot fact[n-m]} \pmod{998244353} $$

3. 计算 $2^{n-m} \bmod 998244353$ 用快速幂。
4. 对于每个询问，输出：

$$\binom{n}{m} \cdot 2^{n-m} \bmod 998244353$$

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6. 时间复杂度

• 预处理阶乘与逆元：$O(N)$
• 每个询问：$O(\log (n-m))$（快速幂）或 $O(1)$（若预处理 2 的幂）
• 总复杂度：$O(N + T \log N)$ 或 $O(N + T)$（预处理幂）