题意重述

我们有 $n$ 个车站 $x_1 < x_2 < \dots < x_n$，可以放 $k$ 个标志（位置任意实数）。
定义 $c(i,j)$ 为：在 $x_i$ 和 $x_j$ 之间，离 $x_i$ 最近的标志到 $x_i$ 的距离，如果之间没有标志，则 $c(i,j) = |x_i - x_j|$。
目标是：

$$\min \sum_{i \neq j} c(i,j)$$

$0 \le k \le 200$，$n \le 10000$，$x_i \le 10^7$。

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第一步：化简 $c(i,j)$

设 $i < j$，即 $x_i < x_j$。

令 $r_i$ 为 $x_i$ 右侧第一个标志的位置（若没有则为 $+\infty$）。
那么：

• 若 $r_i \le x_j$，则 $c(i,j) = r_i - x_i$。
• 若 $r_i > x_j$，则 $c(i,j) = x_j - x_i$。

即：

$$c(i,j) = \min(r_i - x_i, x_j - x_i)$$

对于 $i > j$ 对称地定义 $l_i$ 为 $x_i$ 左侧第一个标志位置（若没有则为 $-\infty$）：

$$c(i,j) = \min(x_i - l_i, x_i - x_j)$$

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第二步：拆分总和

将总和按 $i$ 分组：

$$S = \sum_{i=1}^n \left[ \sum_{j>i} c(i,j) + \sum_{j<i} c(i,j) \right] $$

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1. 对 $j > i$ 的部分

设 $r_i$ 是 $x_i$ 右侧第一个标志的位置。
设 $next(i)$ 是满足 $x_{next(i)} \ge r_i$ 的最小下标（若 $r_i > x_n$ 则 $next(i)=n+1$）。
那么：

• 当 $j < next(i)$ 时，$c(i,j) = x_j - x_i$。
• 当 $j \ge next(i)$ 时，$c(i,j) = r_i - x_i$。

于是：

$$\sum_{j>i} c(i,j) = \sum_{j=i+1}^{next(i)-1} (x_j - x_i) + (n - next(i) + 1) \cdot (r_i - x_i) $$

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2. 对 $j < i$ 的部分

设 $l_i$ 是 $x_i$ 左侧第一个标志的位置。
设 $prev(i)$ 是满足 $x_{prev(i)} \le l_i$ 的最大下标（若 $l_i < x_1$ 则 $prev(i)=0$）。
那么：

• 当 $j > prev(i)$ 时，$c(i,j) = x_i - x_j$。
• 当 $j \le prev(i)$ 时，$c(i,j) = x_i - l_i$。

于是：

$$\sum_{j<i} c(i,j) = \sum_{j=prev(i)+1}^{i-1} (x_i - x_j) + prev(i) \cdot (x_i - l_i) $$

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第三步：标志位置的最优性

因为 $S$ 关于标志位置是分段线性的，最优解中标志可以放在某个车站位置（或边界）而不损失最优性。
因此我们只需考虑标志放在车站处的情况。

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第四步：动态规划设计

设 $dp[t][i]$ 表示已经放了 $t$ 个标志，最后一个标志在车站 $i$ 时，前 $i$ 个车站相关的 $S$ 的最小值。

但这样定义不方便计算完整的 $S$，因为 $c(i,j)$ 与后面的车站有关。
我们换个角度：
标志将数轴分成若干段，每段内（不含两端）的车站没有标志，这些车站的 $r_i$ 和 $l_i$ 由两端标志决定。

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更清晰的 DP 状态

设 $dp[t][i]$ 表示在前 $i$ 个车站中放了 $t$ 个标志（第 $t$ 个标志在车站 $i$），且只考虑这些车站以及它们之间的贡献的最小代价。
但是要小心处理“贡献”的定义，因为 $c(i,j)$ 与 $j$ 有关，即使 $j$ 在 $i$ 之后也可能与前面的标志相关。

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第五步：贡献计算重组

我们可以将 $S$ 重新组合，使得 DP 容易计算。

对于任意 $i$：

$$\sum_{j \neq i} c(i,j) = \sum_{j>i} \min(r_i - x_i, x_j - x_i) + \sum_{j<i} \min(x_i - l_i, x_i - x_j) $$

设 $A_i = r_i - x_i$，$B_i = x_i - l_i$。
注意 $A_i$ 是 $i$ 到右侧第一个标志的距离，$B_i$ 是 $i$ 到左侧第一个标志的距离。

那么：

$$\sum_{j>i} \min(A_i, x_j - x_i) = \sum_{j=i+1}^{next(i)-1} (x_j - x_i) + (n - next(i) + 1) \cdot A_i $$$$\sum_{j<i} \min(B_i, x_i - x_j) = \sum_{j=prev(i)+1}^{i-1} (x_i - x_j) + prev(i) \cdot B_i $$

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第六步：DP 方程推导

如果我们设标志位置在车站集合 $M$ 中，那么对任意 $i$：

• 若 $i$ 是标志，则 $A_i = 0$，$B_i = 0$，但实际上 $i$ 左右标志是自己？这里要小心，标志本身 $c(i,j)$ 如何定义？若 $i$ 处有标志，那么离 $i$ 最近的标志就是 $i$ 自己（距离 0），所以 $c(i,j) = 0$ 对任何 $j$ 成立？不对，题目说“离第 $i$ 个站最近的标记”，若标记就在 $i$，距离为 0，所以 $c(i,j) = 0$。这意味着标志所在站对 $S$ 贡献为 0，这样显然标志应尽量覆盖多的车站以减少贡献。

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换个思路，直接建模：
设我们在位置 $y_1 < y_2 < \dots < y_k$ 放了标志。
对车站 $i$，设左右最近标志为 $y_l \le x_i \le y_r$（可能重合）。

• 若 $x_i = y_l$，则 $A_i = y_r - x_i$，$B_i = 0$（左标志在自身）。
• 若 $x_i = y_r$，则 $A_i = 0$，$B_i = x_i - y_l$。
• 若 $y_l < x_i < y_r$，则 $A_i = y_r - x_i$，$B_i = x_i - y_l$。

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第七步：DP 方程简化

因为标志在车站上，设标志下标为 $p_1 < p_2 < \dots < p_k$。
对标志 $p_t$ 和 $p_{t+1}$ 之间的车站 $i$（$p_t < i < p_{t+1}$），有：

$$A_i = x_{p_{t+1}} - x_i, \quad B_i = x_i - x_{p_t} $$

那么对 $i$ 在 $(p_t, p_{t+1})$ 中：

$$\sum_{j>i} \min(A_i, x_j - x_i) + \sum_{j<i} \min(B_i, x_i - x_j) $$

可以提前用前缀和预处理计算，记作 $cost(p_t, p_{t+1})$ 表示区间 $(p_t, p_{t+1})$ 内车站对 $S$ 的贡献总和（注意这里要考虑这些车站与所有 $j$ 的配对，不仅区间内）。

仔细推导发现，$cost(l, r)$ 可以 $O(1)$ 用前缀和计算，因为： 对于 $i \in (l, r)$，$A_i = x_r - x_i$，$B_i = x_i - x_l$。

那么：

$$\sum_{j>i} \min(A_i, x_j - x_i) = \sum_{j=i+1}^{r-1} (x_j - x_i) + (n - r + 1) \cdot (x_r - x_i) $$$$\sum_{j<i} \min(B_i, x_i - x_j) = \sum_{j=l+1}^{i-1} (x_i - x_j) + l \cdot (x_i - x_l) $$

这两个和式可以用 $x$ 的前缀和 $pref$ 快速计算。

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第八步：最终 DP

设 $dp[t][i]$ 表示已经放了 $t$ 个标志，最后一个标志在 $i$，且考虑了前 $i$ 个车站相关贡献的最小值。
转移时，枚举上一个标志位置 $j$：

$$dp[t][i] = \min_{j < i} \{ dp[t-1][j] + cost(j, i) \} $$

其中 $cost(j, i)$ 表示区间 $(j, i)$ 内车站（不包括 $j,i$ 端点）对 $S$ 的贡献总和（已经包含了它们与所有其他站的 $c(p,q)$ 贡献）。
计算 $cost(j,i)$ 需要 $O(1)$ 公式，用前缀和预处理。

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第九步：复杂度优化

直接 DP 复杂度 $O(k n^2)$ 太大。
观察到 $cost(j,i)$ 满足四边形不等式，决策单调性成立，因此可以用分治优化或单调队列优化到 $O(k n \log n)$ 或 $O(k n)$。

这里 $n \le 10000$，$k \le 200$，$O(k n \log n)$ 可过。

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第十步：边界处理

• 第一个标志之前和最后一个标志之后的区间需要特殊处理，可以将虚拟标志放在 $-\infty$ 和 $+\infty$ 处。
• 注意标志位置在车站上，$cost(j,i)$ 中 $j,i$ 是标志下标，区间 $(j,i)$ 内无标志。

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第十一步：预处理公式

设 $pref[i] = \sum_{a=1}^i x_a$，$suf[i] = \sum_{a=i}^n x_a$。

对 $l < r$，区间 $(l, r)$ 内车站 $i$ 对 $S$ 的贡献：

$$\text{right\_part}(i) = (pref[r-1] - pref[i]) - (r-1-i) \cdot x_i + (n - r + 1) \cdot (x_r - x_i) $$$$\text{left\_part}(i) = (i - l - 1) \cdot x_i - (pref[i-1] - pref[l]) + l \cdot (x_i - x_l) $$

所以 $cost(l, r) = \sum_{i=l+1}^{r-1} [\text{right\_part}(i) + \text{left\_part}(i)]$。

这个和可以进一步化简成关于 $pref$ 的 $O(1)$ 公式，从而快速计算。

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第十二步：算法步骤

1. 读入 $n,k,x$。
2. 计算前缀和 $pref$。
3. 预处理 $cost(l,r)$ 的 $O(1)$ 计算方法。
4. DP：$dp[t][i] = \min_{j < i} dp[t-1][j] + cost(j,i)$，用决策单调性优化。
5. 最终答案 = $\min_{i} dp[k][i] + \text{后缀区间代价}$（即最后一个标志 $i$ 到 $n$ 的区间贡献）。

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第十三步：总结

本题关键：

1. 将 $c(i,j)$ 转化为最近标志距离。
2. 重组总和为可 DP 形式。
3. 预处理 $cost(l,r)$ 公式。
4. 决策单调性优化 DP。

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