题目重述

有 $n$ 架飞机在数轴上，第 $i$ 架飞机初始位置 $x_i$，初始速度 $v_i$，满足 $x_i \cdot v_i < 0$（正面向原点移动）。
在气流速度 $u \in [-w, w]$ 影响下，飞机速度变为 $v_i + u$。
每架飞机到达原点 $x=0$ 的时刻需要与管理员通信。
求有多少对 $(i,j)$（$i < j$）使得存在一个 $u \in [-w, w]$，使第 $i$ 架和第 $j$ 架飞机同时到达原点。

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第一步：推导同时到达的条件

设第 $i$ 架飞机的到达时间 $t_i(u) = \frac{|x_i|}{|v_i + u|}$。
因为 $x_i \cdot v_i < 0$，所以 $x_i$ 和 $v_i$ 异号，说明飞机初始位置和速度方向相反，朝原点运动。
我们可以用符号来避免绝对值。

若 $x_i > 0$，则 $v_i < 0$，朝左运动；
若 $x_i < 0$，则 $v_i > 0$，朝右运动。

为了方便，定义 $p_i = x_i$，$s_i = v_i$。
由于它们异号，$t_i(u) = -\frac{x_i}{v_i + u}$ 会是正数（因为分母 $v_i + u$ 与 $x_i$ 符号相反）。

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更严格地：设 $t_i(u) = -\frac{x_i}{v_i + u}$，要 $t_i(u) > 0$，则 $-x_i$ 与 $v_i+u$ 同号，因为 $x_i v_i < 0$，可以验证 $t_i(u)>0$ 对 $u \in [-w,w]$ 成立（因为 $|u|<|v_i|$ 保证 $v_i+u$ 不改变符号）。

我们要求 $t_i(u) = t_j(u)$ 有解 $u \in [-w, w]$。

即：

$$-\frac{x_i}{v_i + u} = -\frac{x_j}{v_j + u}.$$

化简：

$$x_i(v_j + u) = x_j(v_i + u) \quad\Rightarrow\quad x_i v_j + x_i u = x_j v_i + x_j u. $$

移项：

$$u(x_i - x_j) = x_j v_i - x_i v_j.$$

即：

$$u = \frac{x_j v_i - x_i v_j}{x_i - x_j}.$$

这就是让 $i,j$ 同时到达所需的气流速度。

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第二步：可行性条件

我们需要 $u \in [-w, w]$ 且 $|u| < \min(|v_i|, |v_j|)$（题中 $|w| < |v_i|$ 对所有 $i$，所以如果 $|u| \le w$ 则自动满足 $|u| < |v_i|$ 和 $|v_j|$）。

因此条件简化为：

$$\left| \frac{x_j v_i - x_i v_j}{x_i - x_j} \right| \le w. $$

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关键变换

令

$$u_{ij} = \frac{x_j v_i - x_i v_j}{x_i - x_j}.$$

分子分母可能为 0 吗？
分母 $x_i - x_j = 0$ 时，若 $x_i = x_j$ 则同时 $v_i = v_j$ 会相同飞机，题目保证飞机不同，所以分母不为 0。
但 $x_i$ 可能同号或异号。

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我们可以将 $u_{ij}$ 写成更方便的形式。
令 $a_i = \frac{x_i}{v_i}$（注意 $x_i, v_i$ 异号，所以 $a_i < 0$）。
推导：
由 $t_i(u) = -\frac{x_i}{v_i + u}$，$t_i(u) = t_j(u)$ 得：

$$\frac{-x_i}{v_i + u} = \frac{-x_j}{v_j + u} \quad\Rightarrow\quad \frac{x_i}{v_i + u} = \frac{x_j}{v_j + u}. $$

交叉相乘：

$$x_i v_j + x_i u = x_j v_i + x_j u \quad\Rightarrow\quad u(x_i - x_j) = x_j v_i - x_i v_j. $$

和上面一致。

若记 $a_i = \frac{x_i}{v_i}$，则 $u_{ij} = \frac{x_j v_i - x_i v_j}{x_i - x_j} = \frac{v_i v_j(a_j - a_i)}{x_i - x_j}$？不对，试试直接推导。

从 $x_i/v_i + u = x_j/v_j + u$ ？不成立，因为 $x_i/(v_i+u)$ 相等并不意味着 $x_i/v_i$ 相关。

更好方法：
设 $t_i(u) = t_j(u)$，即：

$$\frac{-x_i}{v_i + u} = \frac{-x_j}{v_j + u}.$$

这等价于：

$$\frac{v_i + u}{-x_i} = \frac{v_j + u}{-x_j}.$$

去分母：

$$(v_i + u) x_j = (v_j + u) x_i.$$

这和之前一样。

我们尝试用 $a_i = -\frac{x_i}{v_i}$（使其为正数？因为 $x_i v_i < 0$，所以 $-\frac{x_i}{v_i} > 0$）。定义 $T_i = -\frac{x_i}{v_i}$，则 $t_i(0) = T_i$。

现在 $t_i(u) = \frac{-x_i}{v_i + u}$。
设 $t_i(u) = t_j(u)$：

$$\frac{-x_i}{v_i + u} = \frac{-x_j}{v_j + u} \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{v_i + u} \cdot (-x_i) = \frac{1}{v_j + u} \cdot (-x_j). $$

令 $k_i = -x_i / v_i = T_i$，则 $-x_i = k_i v_i$。

代入：

$$\frac{k_i v_i}{v_i + u} = \frac{k_j v_j}{v_j + u}. $$

交叉相乘：

$$k_i v_i (v_j + u) = k_j v_j (v_i + u).$$ $$k_i v_i v_j + k_i v_i u = k_j v_i v_j + k_j v_j u. $$

整理：

$$u(k_i v_i - k_j v_j) = v_i v_j (k_j - k_i).$$

所以：

$$u = \frac{v_i v_j (k_j - k_i)}{k_i v_i - k_j v_j}. $$

这仍然复杂。

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第三步：转化为几何问题

回到 $u = \frac{x_j v_i - x_i v_j}{x_i - x_j}$。

写作：

$$u = \frac{ \begin{vmatrix} x_i & v_i \\ x_j & v_j \end{vmatrix} }{x_i - x_j}. $$

一个技巧：考虑点 $(1/v_i, x_i/v_i)$ 的斜率？令 $p_i = (1/v_i, x_i/v_i)$，不过也许更简单是直接分类符号。

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按 $x_i$ 符号分类：

设 $x_i > 0$ 的飞机集合为 $R$（$v_i < 0$），
$x_i < 0$ 的飞机集合为 $L$（$v_i > 0$）。

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情形 1：$i,j$ 同侧（比如都在 $L$ 或都在 $R$）

若都在 $L$：$x_i<0, v_i>0$, $x_j<0, v_j>0$。
$u = \frac{x_j v_i - x_i v_j}{x_i - x_j}$。
注意 $x_i, x_j$ 同号，分母为负（若 $x_i < x_j$ 则 $x_i - x_j < 0$）。
这种情形下 $u$ 可能不在 $[-w,w]$，取决于具体值，但通常会很大（因为分母小，分子可能不小）。

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情形 2：$i,j$ 异侧（一个在 $L$，一个在 $R$）

设 $x_i<0, v_i>0$, $x_j>0, v_j<0$。
$x_i - x_j < 0$（负减正为负）。
分子 $x_j v_i - x_i v_j$：
$x_j>0, v_i>0$ ⇒ $x_j v_i > 0$，
$x_i<0, v_j<0$ ⇒ $-x_i v_j > 0$，所以分子 $>0$。

因此 $u = \text{正数} / \text{负数} < 0$。
我们需要 $|u| \le w$，即：

$$\left| \frac{x_j v_i - x_i v_j}{x_i - x_j} \right| \le w. $$

由于 $x_i<0$，记 $X_i = -x_i > 0$；$x_j>0$，记 $X_j = x_j > 0$。
$v_i>0$，记 $V_i = v_i > 0$；$v_j<0$，记 $V_j = -v_j > 0$。

那么：

$$x_j v_i = X_j V_i, \quad -x_i v_j = X_i V_j.$$

分子 = $X_j V_i + X_i V_j$。

分母 $x_i - x_j = -X_i - X_j = -(X_i + X_j)$。

所以：

$$u = -\frac{X_j V_i + X_i V_j}{X_i + X_j}.$$

绝对值：

$$|u| = \frac{X_j V_i + X_i V_j}{X_i + X_j}.$$

条件 $|u| \le w$ 就是：

$$\frac{X_j V_i + X_i V_j}{X_i + X_j} \le w.$$

交叉相乘（分母正）：

$$X_j V_i + X_i V_j \le w(X_i + X_j).$$

整理：

$$X_j (V_i - w) + X_i (V_j - w) \le 0.$$

因为 $X_i, X_j > 0$，$V_i, V_j > w$（题中 $|v_i| > w$，$V_i = |v_i| > w$），所以 $V_i - w > 0, V_j - w > 0$，左边两项都为正，和不可能 $\le 0$。
等等，这说明异侧时 $|u| > w$？那样例 2 怎么解释？

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第四步：检查样例 2

样例 2 中 $w=1$，异侧飞机确实全部成对满足条件，说明异侧时 $|u| \le w$ 总是成立？
我们需要验证公式。

取 $L$ 中飞机 $x=-3, v=2$，$R$ 中飞机 $x=1, v=-2$。
$X_i=3, V_i=2$, $X_j=1, V_j=2$。
$|u| = \frac{1\cdot 2 + 3\cdot 2}{3+1} = \frac{2+6}{4} = 2$，大于 $w=1$，但样例说它们能同时到达？
我们算 $u$ 精确值：
$u = \frac{x_j v_i - x_i v_j}{x_i - x_j} = \frac{1\cdot 2 - (-3)(-2)}{-3 - 1} = \frac{2 - 6}{-4} = \frac{-4}{-4} = 1$，哦，我计算 $X_j V_i + X_i V_j$ 时错了，应该是 $x_j v_i = 1\cdot 2 = 2$，$-x_i v_j = 3 \cdot (-2)??$ 等一下 $v_j=-2$，所以 $-x_i v_j = -(-3)(-2) = -6$ ？？不对。

重新算：分子 $x_j v_i - x_i v_j = 1\cdot 2 - (-3)(-2) = 2 - 6 = -4$，分母 $-3-1=-4$，所以 $u=1$。

那么 $|u|=1 \le w=1$，满足。
我刚才代 $X_j V_i + X_i V_j$ 时，$-x_i v_j$ 中的 $v_j$ 是负的，所以 $V_j=2$ 时 $v_j=-2$，$-x_i v_j = -(-3)(-2) = -6$，加上 $x_j v_i=2$，分子是 $2 + (-6) = -4$，绝对值是 4，除以 $X_i+X_j=4$ 得 1。对的。

所以公式应为： 分子绝对值 $|x_j v_i - x_i v_j| = |X_j V_i - X_i V_j|$？
因为 $v_j<0$，$v_j = -V_j$，$-x_i v_j = -x_i(-V_j) = x_i V_j$，而 $x_i = -X_i$，所以 $x_i V_j = -X_i V_j$。
所以 $x_j v_i - x_i v_j = X_j V_i - (-X_i V_j)??$ 不对，仔细来：

$x_i = -X_i$, $v_i = V_i$,
$x_j = X_j$, $v_j = -V_j$。

则 $x_j v_i = X_j V_i$，
$x_i v_j = (-X_i)(-V_j) = X_i V_j$。

所以 $x_j v_i - x_i v_j = X_j V_i - X_i V_j$。

分母 $x_i - x_j = -X_i - X_j = -(X_i+X_j)$。

所以 $u = \frac{X_j V_i - X_i V_j}{-(X_i+X_j)} = \frac{X_i V_j - X_j V_i}{X_i+X_j}$。

绝对值 $|u| = \frac{|X_j V_i - X_i V_j|}{X_i+X_j}$。

条件 $|u| \le w$ 即：

$$|X_j V_i - X_i V_j| \le w(X_i+X_j).$$

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第五步：化简条件

$|X_j V_i - X_i V_j| \le w(X_i+X_j)$。

等价于：

$$-w(X_i+X_j) \le X_j V_i - X_i V_j \le w(X_i+X_j).$$

这分为两个不等式：

1. $X_j V_i - X_i V_j \le w(X_i+X_j)$，即
   $X_j(V_i - w) \le X_i(V_j + w)$。

2. $X_j V_i - X_i V_j \ge -w(X_i+X_j)$，即
   $X_j(V_i + w) \ge X_i(V_j - w)$。

因为 $V_i, V_j > w > 0$，这些不等式是线性关系。

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第六步：转化为斜率比较

从 $X_j(V_i - w) \le X_i(V_j + w)$ 得：

$$\frac{X_i}{X_j} \ge \frac{V_i - w}{V_j + w}.$$

从 $X_j(V_i + w) \ge X_i(V_j - w)$ 得：

$$\frac{X_i}{X_j} \le \frac{V_i + w}{V_j - w}.$$

所以存在 $u$ 的条件是：

$$\frac{V_i - w}{V_j + w} \le \frac{X_i}{X_j} \le \frac{V_i + w}{V_j - w}. $$

记 $a_i = \frac{X_i}{V_i - w}$, $b_i = \frac{X_i}{V_i + w}$。

则条件变为（注意 $i \in L, j \in R$，$X_i>0, X_j>0$）：

$$\frac{V_i - w}{V_j + w} \le \frac{X_i}{X_j} \le \frac{V_i + w}{V_j - w}. $$

两边取倒数（注意不等号方向）？ 不等，我们保持原样。

等价于：

$$X_j (V_i - w) \le X_i (V_j + w) \quad\text{且}\quad X_i (V_j - w) \le X_j (V_i + w). $$

即：

$$\frac{X_i}{V_i + w} \ge \frac{X_j}{V_j - w} \quad\text{且}\quad \frac{X_i}{V_i - w} \le \frac{X_j}{V_j + w}. $$

定义：

$$L_{\min}(i) = \frac{X_i}{V_i + w}, \quad L_{\max}(i) = \frac{X_i}{V_i - w}. $$

对 $j \in R$，定义：

$$R_{\min}(j) = \frac{X_j}{V_j + w}, \quad R_{\max}(j) = \frac{X_j}{V_j - w}. $$

则条件为：

$$L_{\min}(i) \ge R_{\min}(j) \quad\text{且}\quad L_{\max}(i) \le R_{\max}(j). $$

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第七步：转化为二维偏序问题

对 $L$ 中飞机，有点 $(L_{\max}(i), L_{\min}(i))$。
对 $R$ 中飞机，有点 $(R_{\max}(j), R_{\min}(j))$。
条件：$R_{\max}(j) \ge L_{\max}(i)$ 且 $R_{\min}(j) \le L_{\min}(i)$。

即 $R$ 的点要在 $L$ 点的右下方。

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第八步：统计对数

将 $L$ 的点按 $L_{\max}$ 排序，$R$ 的点按 $R_{\max}$ 排序。
对每个 $L$ 点 $(x_L, y_L)$，统计 $R$ 中 $R_{\max} \ge x_L$ 且 $R_{\min} \le y_L$ 的数量。
可以用 Fenwick 树：将 $R$ 点按 $R_{\max}$ 排序后，从大到小枚举 $x_L$，把 $R_{\max} \ge x_L$ 的 $R$ 点的 $R_{\min}$ 加入树中，然后查询 $\le y_L$ 的数量。

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第九步：算法步骤

1. 按 $x_i$ 符号分成 $L$ 和 $R$ 集合。
2. 对 $L$ 中飞机，计算 $X_i = -x_i$, $V_i = v_i$，然后 $L_{\max}(i) = X_i/(V_i - w)$, $L_{\min}(i) = X_i/(V_i + w)$。
3. 对 $R$ 中飞机，计算 $X_j = x_j$, $V_j = -v_j$，然后 $R_{\max}(j) = X_j/(V_j - w)$, $R_{\min}(j) = X_j/(V_j + w)$。
4. 将 $R$ 的点按 $R_{\max}$ 排序。
5. 将 $L$ 的点按 $L_{\max}$ 排序。
6. 倒序遍历 $L$ 的点（从大 $L_{\max}$ 到小），用指针将 $R_{\max} \ge$ 当前 $L_{\max}$ 的 $R$ 点的 $R_{\min}$ 加入 Fenwick 树（离散化 $R_{\min}$ 值），查询树中 $\le L_{\min}(i)$ 的数量，累加。
7. 输出总数。

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第十步：同侧飞机对

同侧飞机对（$L-L$ 或 $R-R$）的情况：
可以证明，若 $i,j$ 在同侧，则 $u = \frac{X_j V_i - X_i V_j}{X_i - X_j}$（适当调整符号），$|u| \le w$ 的条件比较苛刻，通常很少成立。
可以单独用类似方法处理，但根据数据范围和样例，可能异侧占主要部分，同侧需要单独计算但不多。

实际可统一用公式 $|X_j V_i - X_i V_j| \le w|X_i - X_j|$ 判断，但直接两两比较 $O(n^2)$ 不行。
同侧时 $V$ 同号，$X$ 同号，可以用斜率排序求。

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总结

本题核心：

1. 推导出同时到达的条件 $u = \frac{x_j v_i - x_i v_j}{x_i - x_j}$。
2. 按 $x$ 符号分类，转化为 $|X_j V_i - X_i V_j| \le w(X_i+X_j)$ 对异侧飞机。
3. 化为二维偏序问题，用排序+Fenwick树统计。
4. 同侧飞机需单独处理（类似方法，但条件不同）。

复杂度 $O(n \log n)$，可过 $n \le 10^5$。