6363. 地底蔷薇 题解

题目大意

给定集合 S，求 n 个点的简单无向连通图个数，要求图中所有极大点双连通分量的大小都在 S 中。答案对 998244353 取模。

基本概念

• 点双连通分量：删去任意一个点后剩下的点依然保持连通的连通子图
• 极大点双连通分量：不被其他点双连通分量包含的点双连通分量
• 块-割点树：将图的点双连通分量和割点表示为树形结构

问题转化

题目要求所有极大点双连通分量的大小都在集合 S 中，这限制了图中允许存在的点双连通分量的类型。

关键思路

1. 使用生成函数方法进行计数
2. 建立有根连通图与点双连通分量之间的关系
3. 通过多项式运算求解

生成函数定义

设：

• C(x)：有根连通图的指数生成函数（EGF）
• B(x)：有根点双连通分量的指数生成函数
• b_k：k 个点的有根点双连通图个数

核心方程

有根连通图与点双连通分量满足关系： C(x) = x * exp(B'(C(x)))

其中 B'(t) 是 B(t) 的导数。

限制条件处理

由于只允许大小在 S 中的点双连通分量，我们定义： B(t) = Σ_{k∈S} (b_k / k!) * t^k

求解步骤

1. 预处理普通连通图 计算普通连通图的 EGF：C(x) = ln(1 + G(x))，其中 G(x) 是普通图的 EGF

2. 计算点双连通分量 由方程 C(x) = x * exp(B'(C(x))) 可得： B'(C(x)) = ln(C(x)/x) 通过复合逆求出 B'(t) 的系数，积分得到 B(t)

3. 应用限制条件 只保留 B(t) 中 k ∈ S 的项

4. 求解限制后的连通图 用牛顿迭代求解方程：C(x) = x * exp(B'(C(x)))

5. 计算答案

   • 取 C(x) 的 n 次项系数乘以 (n-1)! 得到有根图个数
   • 除以 n 得到无根连通图个数（最终答案）

特殊情况

当 S = {2} 时：

• 每个点双连通分量都是大小为 2 的块（单边）
• 满足条件的图就是树
• 个数为 n^(n-2)（Cayley公式）
• 样例 n=5 时答案为 5^3 = 125

复杂度分析

使用多项式运算和牛顿迭代，时间复杂度 O(n log n)，适用于 n ≤ 10^5 的数据范围。

实现要点

• 使用多项式模板进行求导、积分、指数、对数等操作
• 注意模数 998244353 和 NTT 的使用
• 合理处理多项式复合和复合逆的计算

这个解法通过生成函数和多项式技术，将复杂的图计数问题转化为可计算的数学问题，是组合计数与多项式结合的典型应用。