问题分析

我们需要计算斐波那契数列前 $n$ 项平方和模 $10^9+7$ 的结果，即：

$$S_n = \sum_{i=1}^n F_i^2 \mod (10^9+7)$$

其中斐波那契数列定义为：

• $F_1 = 1$
• $F_2 = 1$
• $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ ($n \geq 3$)

关键数学公式

斐波那契数列平方和有一个重要的恒等式：

$$F_1^2 + F_2^2 + \cdots + F_n^2 = F_n \times F_{n+1} $$

证明：

• 数学归纳法可证
• 或者利用恒等式 $F_n^2 = F_n(F_{n+1} - F_{n-1}) = F_nF_{n+1} - F_nF_{n-1}$
• 累加后得到 telescoping sum

因此问题转化为计算：

$$S_n = F_n \times F_{n+1} \mod (10^9+7)$$

算法思路

矩阵快速幂

由于 $n$ 最大可达 $10^{18}$，直接计算不可行，使用矩阵快速幂在 $O(\log n)$ 时间内计算斐波那契数。

斐波那契数的矩阵表示：

$$\begin{bmatrix} F_{n+1} & F_n \\ F_n & F_{n-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}^n $$

代码实现分析

代码使用了 $4 \times 4$ 的转移矩阵直接计算平方和：

状态向量：

matrix Q(4, 1);
Q.t[1][1] = 1;  // 可能表示某种状态
Q.t[2][1] = 1;  // 可能表示另一种状态  
Q.t[3][1] = 1;  // 可能表示第三种状态
Q.t[4][1] = 2;  // 初始平方和 S_2 = 1^2 + 1^2 = 2

转移矩阵：

matrix D(4, 4);
// 设置转移关系，直接计算平方和

通过矩阵快速幂直接得到结果：

auto A = D.m_qpow(n - 2) * Q;
cout << A.t[4][1] << endl;  // 最终结果

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(\log n)$
  • 矩阵快速幂的复杂度为 $O(k^3 \log n)$，其中 $k=4$ 是矩阵维度
  • 对于 $n \leq 10^{18}$ 完全可行
• 空间复杂度：$O(1)$
  • 只使用了固定大小的矩阵

算法步骤

1. 特殊情况处理：

   • $n = 1$：直接输出 $1$
   • $n = 2$：直接输出 $2$

2. 一般情况：

   • 构造 $4 \times 4$ 转移矩阵 $D$
   • 构造初始状态向量 $Q$
   • 计算 $D^{n-2} \times Q$
   • 输出结果向量中的对应元素

代码优点

1. 矩阵类封装：完整的矩阵乘法、快速幂实现
2. 直接计算：通过精心设计的状态转移，直接计算平方和而非先算斐波那契数
3. 模运算处理：在矩阵运算中及时取模，避免溢出
4. 边界处理：对 $n=1,2$ 的特殊情况单独处理

代码总结

本题通过矩阵快速幂的方法，在 $O(\log n)$ 时间内解决了斐波那契数列平方和的计算问题。关键在于利用斐波那契数的平方和恒等式和矩阵快速幂技术，将指数级复杂度的计算转化为对数级别。

该解法能够高效处理 $n$ 高达 $10^{18}$ 的情况，是解决此类大数斐波那契问题的标准方法。