题目分析

本题要求处理多个查询，每个查询涉及字符串匹配和区间求和。关键点在于：

1. 给定字符串 s 和 m 个区间 [l_i, r_i]
2. 每个查询提供一个长度为 k 的字符串 w 和区间 [a, b]
3. 需要计算 sum_{i=a}^b f(s, w, l_i, r_i)，其中 f(s, w, l, r) 表示 w[l, r] 在 s 中出现的次数

解题思路

核心观察

• 题目中关键限制条件：∑|w| ≤ 10^5，意味着所有查询的字符串 w 总长度不超过 10^5
• 由于 |w| = k，所以 q * k ≤ 10^5，这大大限制了查询的复杂度

解决方案

1. 预处理字符串 s：

   • 构建一个哈希表，存储 s 中所有长度不超过 k 的子串的出现次数
   • 通过遍历 s 的所有可能子串（长度从 1 到 k）来填充该哈希表
   • 使用双哈希避免哈希冲突，确保准确性

2. 处理每个查询：

   • 对于查询的字符串 w，计算其所有子串（长度从 1 到 k）在 s 中的出现次数
   • 构建一个映射 map_w，将每个子串映射到其在 s 中的出现次数
   • 对于每个区间 [l_i, r_i]（i 从 0 到 m-1）：
     • 提取 w[l_i, r_i] 作为子串
     • 从 map_w 中获取该子串在 s 中的出现次数
     • 将次数存储在数组 count_w 中

3. 区间求和：

   • 为 count_w 数组构建前缀和数组
   • 对于查询的 [a, b]，通过前缀和快速计算 sum_{i=a}^b count_w[i]

优化与复杂度分析

• 预处理复杂度：O(n·k)，其中 n 是字符串 s 的长度，k 是查询字符串的长度
  • 由于 k 较小（因为 q·k ≤ 10^5），该复杂度可接受
• 查询处理复杂度：O(q·k² + m)
  • 计算 w 的所有子串：O(k²)
  • 为每个区间查询：O(m)
  • 由于 q·k ≤ 10^5，总复杂度在可接受范围内

边界情况处理

1. 空字符串处理：当 l_i > r_i 时，子串为空，出现次数为 0
2. 无匹配子串：如果 w[l_i, r_i] 在 s 中不存在，出现次数为 0
3. 长度不匹配：当 r_i - l_i + 1 > k 时，应视为无效查询（但题目保证 0 ≤ l_i, r_i < k，所以这种情况不会发生）

实现要点

• 使用双哈希技术提高哈希表的准确性
• 利用前缀和数组实现区间求和的 O(1) 查询
• 由于字符串由小写字母构成，可以使用简单的基数哈希函数（如 'a'→0, 'b'→1, ..., 'z'→25）

总结：

本题通过预处理字符串 s 的子串频率，结合查询时的子串频率计算和前缀和优化，实现了高效处理多个查询的目标。