1. 数学（核心范畴）

题目本质是三重嵌套求和的数学问题，所有算法均基于数论与代数推导，无数据结构相关操作，是典型的“数学题”。

2. 等幂和（幂和问题）

最内层求和 $\sum_{l=1}^j l^k$ 是经典的k次等幂和，记为 $S_k(j)$。
关键性质：$S_k(j)$ 是关于 $j$ 的 k+1次多项式（可通过数学归纳或伯努利数证明），这是后续推导的基础。

3. 多项式前缀和

中间层求和 $\sum_{j=1}^m S_k(j)$（其中 $m=a+i\cdot d$）是 $S_k(j)$ 的前缀和。
关键性质：若 $f(x)$ 是 $t$ 次多项式，则其前缀和 $\sum_{x=1}^n f(x)$ 是 t+1次多项式。
因此中间层和是关于 $m$ 的 $k+2$ 次多项式，代入 $m=a+i\cdot d$ 后，进一步转化为关于 $i$ 的 $k+2$ 次多项式（记为 $F(i)$）。

4. 拉格朗日插值

最外层求和 $\sum_{i=0}^n F(i)$ 是 $F(i)$ 的前缀和，记为 $G(n)$。
由多项式前缀和性质，$G(n)$ 是关于 $n$ 的 k+3次多项式。
由于 $k \leq 123$，$k+3 \leq 126$，只需计算 $G(n)$ 在 $n=0,1,2,...,k+3$ 这 $k+4$ 个点的函数值，即可通过拉格朗日插值唯一确定 $G(n)$，并求出 $G(n)$ 在目标 $n$ 处的值（模 $p$）。
拉格朗日插值是本题求解高次多项式的核心算法。

5. 快速幂

插值过程中需计算模 $p$ 下的逆元（如拉格朗日基函数中的分母逆元），而 $p=1234567891$ 是质数，可通过快速幂（费马小定理）快速计算逆元（$x$ 的逆元为 $x^{p-2} \mod p$）。

6. 模运算

所有计算均需在 $\mod p$ 下进行（避免数值溢出且满足题目要求），需处理模加减乘除的基本规则，是贯穿全程的基础操作。