题目概述

名盗 Al Bajtone 要规划从银行到藏身处的逃亡路线，约束条件如下：

• 只能直行或右转（不能左转）
• 不能重复经过同一个交叉口
• 需要避开有警察巡逻的交叉口
• 银行位于最西南交叉口 (1,n) 的南侧，Al 从南向北出发
• 藏身处位于交叉口 (x,y)

城市街道形成 $n \times m$ 的网格，需要计算所有满足条件的路径数量，结果对 $k$ 取模。

---

问题分析

关键约束

1. 移动限制：只能直行或右转（即方向变化：北→东→南→西→北）
2. 不重复访问：每个交叉口最多经过一次
3. 避开警察：标记为 * 的交叉口不能经过

路径特性

由于只能右转，路径会形成类似"螺旋"的形状，不断向内收缩。

---

算法思路

区间动态规划

使用五维DP：f[leny][x][y][dir] 表示：

• 当前考虑的矩形区域：从第 x 行到第 x+lenx-1 行，从第 y 列到第 y+leny-1 列
• 当前方向 dir：0=上, 1=右, 2=下, 3=左
• 值：从当前矩形区域外进入，按右转规则走完整圈，最终离开的路径数量

状态转移

对于每个矩形区域，考虑四种进入方向：

方向0（从上边界进入）：

f[nw][leny][x][y][0] = add(f[nw^1][leny][x+1][y][0],
    (f[nw][leny-1][x][y+1][1] + d[0]) * (col[xr][y] - col[x-1][y] == 0));

• 第一部分：直接穿过上边界继续前进
• 第二部分：在左上角右转，进入右侧子矩形
• d[0]：如果左上角是目标点且是唯一路径
• 条件：左边界没有警察

方向1（从右边界进入）：

f[nw][leny][x][y][1] = add(f[nw][leny-1][x][y][1],
    (f[nw^1][leny][x+1][y][2] + d[1]) * (hor[x][yr] - hor[x][y-1] == 0));

• 第一部分：直接穿过右边界继续前进
• 第二部分：在右上角右转，进入下方子矩形
• 条件：上边界没有警察

其他方向类似。

预处理

• hor[i][j]：第 i 行前 j 列的警察数量前缀和
• col[i][j]：第 j 列前 i 行的警察数量前缀和

用于快速判断某条边界上是否有警察。

---

算法详解

状态定义

f[leny][x][y][dir]：在矩形 [x, x+lenx-1] × [y, y+leny-1] 中，从方向 dir 进入的路径数。

其中 lenx 隐含在循环中，nw 用于滚动数组优化空间。

方向编码

• 0: 从上边界进入（向北移动）
• 1: 从右边界进入（向东移动）
• 2: 从下边界进入（向南移动）
• 3: 从左边界进入（向西移动）

转移方程理解

以方向0为例：

• 进入点：上边界的某个点
• 选择1：直行到底，从下边界离开（进入更小的矩形）
• 选择2：在左上角右转，进入右侧子矩形

边界条件

d[0] ~ d[3] 判断当前矩形的四个角是否是目标点：

• 如果是目标点且是唯一可达路径，贡献1
• 否则贡献0

---

样例解析

样例输入

3 5 10
4 2
+++++
++*++
++++*

• 网格：3行5列
• 目标点：(4,2) - 注意这里的坐标转换
• 模数：10

地图：

行1: +++++  (无警察)
行2: ++*++  (中间有警察)  
行3: ++++*  (右下角有警察)

计算结果

输出2，表示有2条合法路径。

可能的路径（简化描述）：

1. 北→东→南→西 的某种组合，避开警察
2. 另一种右转组合路径

---

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n^2 \times m^2)$
  • 四重循环：lenx, leny, x, y
  • 对于 $n, m \leq 100$，最坏 $100^4 = 10^8$ 次操作
  • 实际通过滚动数组和优化可接受
• 空间复杂度：$O(n \times m^2)$
  • 使用滚动数组优化

---

算法亮点

1. 区间DP：将路径分解为矩形边界上的移动
2. 方向处理：通过4个方向状态处理右转约束
3. 前缀和优化：快速判断边界是否有警察
4. 滚动数组：优化空间复杂度
5. 螺旋分解：利用右转特性将路径分解为矩形环

---

总结

这道题的核心在于将路径规划问题转化为区间DP：

1. 问题转化：利用右转约束，路径必然形成矩形环
2. 状态设计：用矩形区域+进入方向完整描述状态
3. 转移策略：考虑直行或右转两种选择
4. 边界处理：用前缀和快速检查警察约束
5. 优化技巧：滚动数组降低空间复杂度

这种"区间DP + 方向状态"的方法在解决网格路径计数问题时非常有效，特别是在有移动方向约束的情况下。