解法思路

核心思想：随机化 + 贪心构造

利用题目保证至少 20% 路标相容的性质，通过多次随机选择起始路标，构造最大相容集合。

算法框架

1. 关键观察

• 如果两个路标相容，它们到各城市的距离差应满足特定约束
• 通过坐标平移和变换，可以将问题转化为数值比较问题

2. 主要步骤

步骤 1：归一化处理

• 以随机选定的路标 $x$ 为基准
• 计算相对距离：$r[j] = d[x][j] - d[x][1]$
• 对每个路标 $i$，计算变换后的值：$a[i][j] = d[i][j] - r[j]$

步骤 2：可行性筛选

• 对每个路标，找到变换后数组的最小值 $mn$
• 将整个数组减去 $mn$ 进行归一化
• 检查所有值是否 $\leq 1$，若大于 1 则排除该路标

步骤 3：位运算编码

• 用 bitset 编码每个路标的非零位置
• 按非零位置数量排序，减少后续检查次数

步骤 4：动态规划构造最大链

• 定义 $f[x]$ 表示以路标 $x$ 结尾的最大相容集合大小
• 状态转移：如果路标 $y$ 的编码是 $x$ 的子集，则 $f[x] = \max(f[x], f[y] + 1)$
• 记录转移路径用于回溯

3. 随机化优化

• 重复 40 次随机选择起始路标
• 取所有尝试中的最大相容集合

关键技巧

1. 归一化变换：消除绝对坐标影响，聚焦相对关系
2. 位运算编码：用 bitset高效表示和比较约束条件
3. 子集 DP：利用集合包含关系进行动态规划
4. 多次随机：提高找到最优解的概率

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(40 \cdot (nm + n^2 \cdot m/w))$，其中 $w$ 为字长
• 空间复杂度：$O(nm)$