题解

「ROI 2025 Day2 T3」最小化逆序对 题解

题目分析

给定 $n \times m$ 矩阵，每次取第一行或第一列，要最小化最终序列的逆序对数。

算法思路

1. 问题转化

将取行和列的过程看作一个路径规划问题：

• 状态 $(i, j)$ 表示已经取了前 $i$ 行和前 $j$ 列
• 从 $(i, j)$ 可以：
  • 取第 $i+1$ 行 → $(i+1, j)$
  • 取第 $j+1$ 列 → $(i, j+1)$

2. 关键观察

取行或列时新增的逆序对只与已取部分和新增部分的相对大小有关，可以预处理。

3. 算法步骤

步骤1：矩阵转置

总是转置使得 $n \le m$，降低复杂度。

步骤2：计算初始逆序对

用二维树状数组统计原矩阵中所有逆序对数量。

步骤3：分块预处理

• 对行分块，块大小 $\sqrt{n}$
• 预处理 f[i][j] 和 g[i][j]：
  • f[i][j]：取第 $i$ 行时，与前 $j$ 列已取元素产生的逆序对
  • g[i][j]：取第 $j$ 列时，与前 $i$ 行已取元素产生的逆序对

步骤4：动态规划

dp[0][0] = 0
for i = 0 to n
  for j = 0 to m
    dp[i+1][j] = min(dp[i+1][j], dp[i][j] + f[i+1][j])
    dp[i][j+1] = min(dp[i][j+1], dp[i][j] + g[i][j+1])

最终答案 = dp[n][m] + 初始逆序对

复杂度分析

• 初始逆序对计算：$O(nm \log n \log m)$
• 分块预处理：$O(nm \sqrt{n})$
• 动态规划：$O(nm)$
• 总复杂度：$O(nm \sqrt{n})$，可处理 $nm \le 2 \times 10^6$ 的数据

算法优势

1. 转置优化：保证 $n$ 较小，降低分块和 DP 的复杂度
2. 分块技巧：平衡预处理和查询的复杂度
3. 完备性：考虑了所有可能的操作顺序

总结

本题通过巧妙的动态规划状态设计，结合分块预处理和二维树状数组，高效解决了矩阵操作顺序的优化问题。算法在保证正确性的同时，能够处理大规模数据输入。

最终算法标签： 动态规划 二维树状数组 分块算法 逆序对计数 矩阵转置