题目分析

这道题要求计算通过特定操作能够获得的所有不同非空序列的数量。操作规则是：选择一个严格前缀最大值位置，如果该位置的值不为1，则将其值减1后添加到序列末尾，然后删除序列的前s个元素。

算法思路

核心思想

使用动态规划结合单调栈来统计所有可能的序列。主要分为几种情况处理：

1. m = 1 的特判：序列全为1，只能得到n个不同的序列（原序列的各个前缀）

2. m ≤ 2 的特判：通过简单计数公式计算

3. 一般情况 (m ≥ 3)：分为两个子问题求解

主要算法

1. 单调栈预处理

• 计算每个位置的 nxt[i]：右边第一个大于 a[i] 的位置

• 计算每个位置的 lst[i]：左边第一个大于等于 a[i] 的位置

• 用于快速找到严格前缀最大值之间的关系

2. 动态规划求解 (solve1) 处理不涉及序列扩展的情况，使用二维DP：

• dp[i][0/1] 表示考虑前i个元素，是否已经进行过特定操作的状态数

• 状态转移考虑两种选择：

  • 直接移动到下一个位置

  • 跳到下一个严格前缀最大值位置

3. 扩展序列求解 (solve2) 处理序列可能扩展的情况：

• 将原序列扩展为2倍长度：a[i] 和 a[i]-1

• 使用多个DP数组和前缀和数组进行复杂的状态转移

• 分别计算不同起始位置p的贡献

算法标签

• 动态规划 - 核心算法，用于状态转移和计数

• 单调栈 - 预处理严格前缀最大值关系

• 组合计数 - 统计所有可能的序列

• 前缀和优化 - 优化DP状态转移

代码关键部分解析

单调栈预处理

sta[tot = 1] = n + 1;
a[n + 1] = m + 1;
for (int i = n; i; i--) {
    while (a[sta[tot]] <= a[i])
        lst[sta[tot--]] = i;
    nxt[i] = sta[tot];
    sta[++tot] = i;
}

主要DP转移 (solve1)

memset(dp, 0, sizeof(dp));
dp[1][0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 0; j < 2; j++) {
        if (!j || a[i] == 1)
            add(dp[i + 1][j | (a[i] == 1)], dp[i][j]);
        add(dp[nxt[i]][j], dp[i][j]);
    }
}

复杂状态转移 (solve2)

for (int p = 1; p <= n; p++) {
    if (a[p] == 1) continue;
    // 使用f, g, ff, gg等多个DP数组
    // 结合前缀和pre, ppre进行优化
    // 计算从位置p开始的所有可能扩展
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n²) - 主要来自solve2中对每个起始位置p的O(n)处理

• 空间复杂度：O(n) - 使用多个大小为O(n)的数组

总结

这道题通过巧妙的动态规划设计，结合单调栈预处理，成功解决了序列操作计数这一复杂问题。算法充分利用了严格前缀最大值的性质，通过状态压缩和前缀和优化，在合理的时间复杂度内完成了计数任务。