题目概述

给定一个无向图 $G = (V, E)$，其中 $V = {1, 2, \ldots, n}$，要求找到一个 $1 \sim n$ 的排列 $p$，使得：

存在一组二元组 ${(a_i, b_i)}_{i=1}^m$，满足 $1 \leq a_i < b_i \leq n$ 且不存在 $1 \leq i, j \leq n$ 使得 $a_i < a_j < b_i < b_j$

图 $G$ 的边集 $E = {(p_{a_i}, p_{b_i}) \mid i \in {1, 2, \ldots, m}}$

排列 $p$ 的字典序最小

问题分析

这个问题本质上是在寻找一个满足特定交叉约束的图表示。题目中的约束条件意味着边在排列中不能形成交叉模式，这类似于平面图的直线嵌入问题。

算法标签

• 图论 - 涉及图的结构分析和遍历

• 深度优先搜索 (DFS) - 用于图遍历和双连通分量识别

• 双连通分量 - 处理图的连通性结构

• 贪心算法 - 追求字典序最小的解

• Tarjan算法 - 用于计算DFS序和low值

算法详细解析

1. 核心思想

该算法通过深度优先搜索识别图的双连通分量结构，然后利用这些信息构建字典序最小的节点排列。关键观察是：满足题目条件的排列对应于图的某种特定DFS遍历顺序。

2. 数据结构设计

int c[100001], a[100001][2], f[100001][2], dfn[100001], low[100001];
basic_string <int> S, G[100001];
set <int> r;
vector <node> E[100001][2];

c[x]: 记录节点x的子节点数量

a[x][0/1]: 存储节点x的两个关键子节点

f[x][0/1]: 存储从节点x出发的两种遍历顺序的最小节点

dfn[x]: 节点x的DFS序号

low[x]: 节点x在DFS树中能回溯到的最早祖先

G[x]: 图的邻接表表示

E[x][0/1]: 存储节点x的两种可能的遍历顺序

r: 未处理节点的集合

S: 最终结果排列

3. 算法步骤

步骤1: DFS遍历与双连通分量分析 (dfs1)

void dfs1(int x, int u) {
    dfn[x] = low[x] = ++c[0], f[x][0] = f[x][1] = x;
    vector <node> e;

    for (int y : G[x]) {
        if (!dfn[y]) {
            dfs1(y, x), low[x] = min(low[x], low[y]);

            if (low[y] < dfn[x])
                a[x][c[x]++] = y;
            else
                e.push_back(node(y, f[y][0] > f[y][1]));
        } else if (y != u)
            low[x] = min(low[x], dfn[y]);
    }
    // ... 后续处理
}

• 计算每个节点的DFS序号和low值

• 识别双连通分量和割点

• 构建两种可能的遍历顺序 E[x][0] 和 E[x][1]

步骤2: 辅助计算函数 (calc)

int calc(int x, int y) {
    if (!c[x])
        return f[x][0] > f[x][1];
    else if (c[x] & 1)
        return low[a[x][0]] == dfn[y];
    else
        return low[a[x][0]] > low[a[x][1]];
}

• 根据节点的子节点数量和low值决定遍历顺序

• 确保选择的顺序满足题目约束条件

步骤3: 生成字典序最小排列 (dfs3)

void dfs3(int x, int k) {
    if (r.count(x))
        dfs2(x), k = f[x][0] > f[x][1];

    for (node y : E[x][k]) {
        if (y.x == x) {
            while (r.size() && *r.begin() < x)
                dfs1(*r.begin(), 0), dfs3(*r.begin(), 0);
            S += x;
        } else
            dfs3(y.x, y.k);
    }
}

• 使用贪心策略选择字典序最小的遍历路径

• 维护未处理节点集合 r

• 构建最终排列 S

4. 关键算法特性 4.1 双连通分量处理 算法通过计算 dfn 和 low 值来识别双连通分量，这是Tarjan算法的核心思想。双连通分量的正确处理确保了边的不交叉约束。

4.2 字典序最小化策略 算法维护两种遍历顺序 E[x][0] 和 E[x][1]，通过比较 f[x][0] 和 f[x][1] 来选择字典序更小的路径：

f[x][0] = E[x][0][0].x == x ? x : f[E[x][0][0].x][E[x][0][0].k],
f[x][1] = E[x][1][0].x == x ? x : f[E[x][1][0].x][E[x][1][0].k];

4.3 贪心选择 在 dfs3 中，算法总是选择当前可用的最小节点，确保整体排列的字典序最小：

while (r.size() && *r.begin() < x)
    dfs1(*r.begin(), 0), dfs3(*r.begin(), 0);

5. 复杂度分析

时间复杂度

• DFS遍历: $O(n + m)$

• 排序操作: 每个节点的子节点排序，总体 $O(n \log n)$

• 总复杂度: $O(n \log n + m)$

空间复杂度

• 图存储: $O(n + m)$

• 辅助数组: $O(n)$

• 总复杂度: $O(n + m)$

6. 算法正确性证明思路

• 约束条件满足: 通过双连通分量分析和特定的遍历顺序构建，确保边的不交叉约束

• 字典序最小: 贪心选择策略保证每一步都选择当前最小的可用节点

• 完整性: 算法处理所有连通分量，确保生成完整的排列

7. 实际应用考虑

• 适用于大规模图（$n \leq 10^5$）

• 处理多种图结构（连通图、森林、度数限制图等）

• 鲁棒性强，能够处理各种特殊性质的图

总结

该算法通过结合深度优先搜索、双连通分量分析和贪心策略，有效地解决了在特定边约束下寻找字典序最小排列的问题。算法充分利用了图的结构特性，在保证正确性的同时达到了较高的效率，适用于大规模数据。