题目解析

题目大意 给定一个无向连通图（可能有重边），要求给每个节点分配一个整数值，使得对于任意一条不重复经过同一条边的路径，节点值序列必须是单调递增或单调递减的。定义一个数组的多样性为数组中不同值的节点对的数量。求所有满足条件的赋值方案中，多样性的最大值。

关键性质

1. 边双连通分量内值相同：在任意边双连通分量（EBCC）内，所有节点必须具有相同的值。否则，存在环会导致路径值序列非单调。
2. 缩点树结构：将每个边双连通分量缩成一个点，得到一棵树（缩点树），树边对应原图中的桥。
3. 赋值方案限制：在缩点树上，赋值必须满足从任意根节点出发到任何叶节点的路径上值序列单调。这意味着赋值可以看作基于树深度的函数，但值可以重复。
4. 多样性最大化：多样性最大化等价于最小化值相同的节点对数。值相同的节点对数为所有值对应的节点数组合数之和，即 (\sum_{v} \binom{s_v}{2})，其中 (s_v) 是值 (v) 的节点数。因此，需要最小化 (\sum_{v} s_v^2)。

算法步骤

1. 边双连通分量分解：使用 Tarjan 算法求出所有桥，并识别边双连通分量。
2. 构建缩点树：将每个边双连通分量缩成一个节点，缩点树的边对应原图的桥。
3. 树形动态规划：在缩点树上，通过两次 DFS 计算每个节点的子树大小，并找到最优根节点，使得按深度赋值时，同一深度的节点数平方和最小。
4. 计算答案：总节点对数为 (\binom{n}{2})，减去最小相同值对数，得到最大多样性。

代码实现详细解析

算法概述

这个问题要求我们在一个无向连通图中找到一种节点赋值方案，使得任意简单路径上的节点值序列都是单调的（递增或递减），同时最大化不同值节点对的数量。

核心思路

1. 边双连通分量分解：将图分解为边双连通分量（EBCC）
2. 缩点建树：将每个边双连通分量缩成一个点，构建缩点树
3. 树形动态规划：在缩点树上进行动态规划，找到最优的赋值方案

代码实现详细步骤

1. 数据结构和变量定义

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define pii pair<int, int>
#define fi first
#define se second
#define m_p make_pair
using namespace std;

• 使用 long long 处理大数
• pii 表示边对（目标节点，边ID）
• 其他辅助数据结构用于存储图信息和中间结果

2. 边双连通分量分解

vector<int> dfn(n, 0), low(n, 0);
vector<int> cut(m, 0), bel(n, 0), sum(n + 1, 0), sz(n + 1, 0);
vector<vector<pii>> g(n, vector<pii>());
vector<vector<int>> G(n + 1, vector<int>());

// 构建原图
for (int i = 0; i < m; i++) {
    g[U[i]].push_back(m_p(V[i], i));
    g[V[i]].push_back(m_p(U[i], i));
}

• dfn: DFS序
• low: Tarjan算法中的low值
• cut: 标记边是否为桥
• bel: 节点所属的边双连通分量编号
• sum: 每个边双连通分量的节点数
• sz: 子树大小

3. Tarjan算法找桥

int dfncnt = 0, idx = 0;
function<void(int, int)> tarjan = [&](int u, int pre) {
    dfn[u] = low[u] = ++dfncnt;

    for (auto [v, id] : g[u])
        if (pre != id) {  // 避免重复访问父边
            if (!dfn[v]) {
                tarjan(v, id);
                low[u] = min(low[u], low[v]);
                
                // 判断是否为桥
                if (low[v] > dfn[u]) {
                    cut[id] = true;
                }
            } else {
                low[u] = min(low[u], dfn[v]);
            }
        }
};
tarjan(0, -1);

• 使用DFS遍历图
• 通过比较 low[v] > dfn[u] 判断边是否为桥
• 标记所有的桥边

4. 识别边双连通分量

function<void(int)> dfs = [&](int u) {
    bel[u] = idx, ++sum[idx];  // 标记所属分量并计数
    
    for (auto [v, id] : g[u])
        if (!cut[id] && !bel[v]) {  // 只遍历非桥边
            dfs(v);
        }
};

for (int i = 0; i < n; i++)
    if (!bel[i]) {
        ++idx, dfs(i);  // 新的边双连通分量
    }

• 通过DFS遍历非桥边，识别边双连通分量
• 统计每个分量中的节点数

5. 构建缩点树

for (int i = 0; i < m; i++)
    if (bel[U[i]] != bel[V[i]]) {
        G[bel[U[i]]].push_back(bel[V[i]]);
        G[bel[V[i]]].push_back(bel[U[i]]);
    }

• 桥连接不同的边双连通分量
• 构建缩点树，节点为边双连通分量

6. 树形动态规划

auto C = [&](int x) {
    return 1ll * x * (x - 1) / 2;  // 组合数C(x,2)
};

vector<ll> dp(n + 1);

// 第一次DFS：计算子树大小
function<void(int, int)> pdfs = [&](int u, int fno) {
    sz[u] = sum[u];  // 初始化为当前分量的节点数
    
    for (int v : G[u])
        if (v != fno) {
            pdfs(v, u);
            sz[u] += sz[v];  // 累加子树大小
        }
};

// 第二次DFS：计算DP值
function<void(int, int)> dypr = [&](int u, int fno) {
    for (int v : G[u])
        if (v != fno) {
            dp[v] = dp[u] + C(sz[u] - sz[v]);
            dypr(v, u);
        }
};

• C(x): 计算x个节点中相同值节点对的数量
• pdfs: 预处理计算每个节点的子树大小
• dypr: 动态规划，计算移除子树后的代价

7. 寻找最优根节点

pdfs(1, 0), dypr(1, 0);
int rt = -1;

for (int i = 1; i <= idx; i++)
    if (!(G[i].size() - (i != 1 ? 1 : 0))) {  // 叶子节点
        dp[i] += C(sum[i]);  // 加上当前分量的内部代价
        
        if (rt == -1 || dp[i] < dp[rt]) {
            rt = i;  // 选择代价最小的叶子作为根
        }
    }

• 遍历所有叶子节点（度为1的节点）
• 选择代价最小的叶子作为新的根节点

8. 重新计算并找到最小代价

dp[rt] = 0;
pdfs(rt, 0), dypr(rt, 0);  // 以新根重新计算
ll minn = 1e18;

for (int i = 1; i <= idx; i++)
    if (!(G[i].size() - (i != rt ? 1 : 0))) {  // 叶子节点
        minn = min(minn, dp[i] + C(sum[i]));
    }

• 以新选择的根节点重新进行树形DP
• 找到所有叶子节点中的最小代价

9. 计算最终答案

return C(n) - minn;

• 总节点对数为 C(n)
• 最大多样性 = 总对数 - 最小相同值节点对数

算法标签

• 图论

• 边双连通分量

• 缩点

• 树形动态规划

• 贪心

算法复杂度

• 时间复杂度: O(n + m)
  • Tarjan算法: O(n + m)
  • 两次DFS: O(n)
• 空间复杂度: O(n + m)

关键洞察

1. 边双连通分量内值相同: 由于环的存在，同一分量内的节点必须赋值相同
2. 树结构保证单调性: 在缩点树上，从根到叶子的路径赋值单调即可保证所有路径单调
3. 最小化相同值对: 通过树形DP找到使相同值节点对数最小的赋值方案

这个实现巧妙地结合了图论分解和动态规划，高效地解决了这个复杂的问题。