题意理解

我们有一个 ( N \times M ) 的网格花园，每个格子种一种花（花的种类编号 1 到 ( K )），要求满足：

1. 每种花至少出现一次。
2. 同种花的格子必须形成一个连通块（路径上所有格子同色）。
3. 每个格子必须有且只有两个相邻格子种同种花。

“相邻”指上下左右四方向相邻。

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条件 3 的含义

条件 3 是说：对于任意一个格子，数它的四个邻居中与自己花色相同的个数，必须恰好等于 2。

这意味着同色连通块的形状必须是环或直线，不能有分支或端点。
因为：

• 如果某个格子有 0 个同色邻居 → 孤立点，不行。
• 如果某个格子有 1 个同色邻居 → 端点，不行。
• 如果某个格子有 3 或 4 个同色邻居 → 分支或全包围，不行。

所以每个同色连通块是一个简单环（在网格图上）或者一条闭合路径（即环）。

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观察与性质

1. 整个网格被若干个环覆盖，每个环一种颜色。
2. 环的长度至少是 4（网格中最小环是 2×2 的方块）。
3. 每个环占据的格子数是偶数（因为环在网格中是二分的）。
4. 所以 ( N \times M ) 必须是偶数，否则无法分成若干环（每个环偶数格）。
5. 环的最小大小是 4，所以 ( K \le \frac{NM}{4} )。
6. 同时 ( K \ge 1 ) 且每种花至少出现一次，所以 ( K \le NM ) 但实际上界更小。

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代码思路分析

1. 初步判断

if (1ll * n * m > 2e5 || (n & 1) || (m & 1))
    return (void)puts("NO");

• 如果 ( N \times M > 2\times 10^5 ) 直接 NO（题目约束 S ≤ 2e5，这里提前剪枝）。
• 如果 ( N ) 或 ( M ) 是奇数 → 总格子数奇数 → 无法分成偶数长度的环 → NO。

所以 ( N ) 和 ( M ) 必须都是偶数。

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2. 调整方向

int rev = (n > m);
if (rev) swap(n, m);

为了方便构造，总是让 ( n \le m )。

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3. 可行性判断

if (k < m/2 || k > n*m/4 || k == n*m/4 - 1 || (n == m && k == n/2 + 1))
    return (void)puts("NO");

这里 ( m/2 ) 是下界，( n*m/4 ) 是上界（全是最小的 4 格环时的最大颜色数）。
另外排除了某些特殊情况（不可行的 ( K ) 值）。

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4. 构造方法

核心函数：

• pnt0(u, d, l, r)：在矩形区域 [u,d]×[l,r] 内用类似棋盘格染色方式填充（相邻格同色形成 2×2 块）。
• pnt1(u, d, l, r)：画一个矩形边框（同色），形成一个环。

构造思路是：

• 把大网格分成若干环，每个环一种颜色。
• 通过调整环的大小和位置，使得环的数量正好等于 ( K )。
• 用 pnt0 填充内部区域，用 pnt1 画环的边界。

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5. 分情况构造

代码分几种情况：

1. id == n/2：接近最大环数的情况。
2. k < id：某种参数范围。
3. k <= 2*id-2：另一种参数范围。
4. 其他情况。

每种情况通过组合 pnt0 和 pnt1 来画出正确数量的环。

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6. 输出

如果之前交换过 ( N, M )，输出时转置。

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算法标签

• 构造法 (Construction)
• 网格图染色 (Grid Coloring)
• 环分解 (Cycle Decomposition)
• 特判与分类讨论 (Casework)

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构造的核心思想

网格中构造环的常见技巧：

• 用 2×2 方块作为最小环。
• 用矩形边框作为环。
• 通过连接和断开环来调整环的数量。

本题的难点在于恰好用 ( K ) 种颜色，并且每个环大小至少为 4，且所有格子被环覆盖。

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样例验证

例如样例：

4 4 4

输出：

1 1 2 2
1 1 2 2
3 3 4 4
3 3 4 4

这是 4 个 2×2 的环，每个环一种颜色，满足条件。

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总结

这道题是一个比较复杂的网格构造题，需要深入分析条件，找到图论模型（每个连通块是一个环），然后通过精巧的构造方法实现任意可行的 ( K )。
代码通过几种预定义模式 + 参数调整来完成构造，避免了通用但复杂的环覆盖算法。