题解

问题分析

题目要求统计满足特定扫描模式的合法表格数量。扫描模式为：

• 在第 $p$ 列扫描时，覆盖区域包括：
  • 第 $p$ 列全部 $k$ 个格子
  • 第 $p-1$ 列的前 $k-1$ 个格子
  • 第 $p-2$ 列的前 $k-2$ 个格子
  • ...
• 给定每列的扫描结果 $b_p$，求满足所有扫描结果的 $k \times n$ 表格数量

关键观察

1. 扫描区域的递推关系：

   • 第 $p$ 列的扫描区域 = 第 $p-1$ 列的扫描区域去掉最后一行的格子 + 第 $p$ 列的全部格子
   • 这形成了相邻列扫描结果之间的约束关系

2. 状态设计：

   • 使用 DP 状态记录每列各行的矿物情况
   • 由于 $k \leq 7$，可以用 $k$ 个变量表示当前列的矿物分布
   • 状态转移时考虑相邻列之间的重叠部分

算法思路

动态规划（按列递推）：

1. 状态表示：

   • dp[now][a][b][c][d][e][f][g] 表示处理到第 now 列时，各行的"影响值"
   • 对于 $k$ 行，第 $i$ 个状态变量表示扫描区域中来自前 $i$ 列的矿物数量贡献

2. 状态转移：

   • 从第 now-1 列的状态转移到第 now 列
   • 枚举当前列每行的矿物情况（0或1）
   • 计算新的扫描值并检查是否等于 $x[now]$
   • 更新 DP 状态

3. 初始化和答案：

   • 初始化第一列的所有可能矿物分布
   • 最终答案是最后一列满足扫描值等于 $x[n]$ 的所有状态之和

核心技巧

1. 状态压缩：用多个维度的 DP 数组表示各行的累积影响
2. 滚动思想：实际代码中按列顺序递推，隐含了滚动数组
3. 边界处理：对不同的 $k$ 值分别处理，避免无效状态

复杂度分析

• 状态数：$O(n \times 2^k \times k^k)$，但由于 $k \leq 7$ 且很多状态不可达，实际可接受
• 转移复杂度：$O(2^k)$ 枚举当前列状态
• 总复杂度：$O(n \times 2^{2k} \times k^k)$，在给定范围内可行

算法步骤

1. 读入 $n, k$ 和扫描结果数组 $x$
2. 根据 $k$ 值选择对应的 DP 分支
3. 初始化第一列的状态
4. 按列递推，维护合法的状态数量
5. 统计最后一列满足条件的答案

算法标签

• 动态规划
• 状态压缩
• 组合计数
• 递推关系
• 位运算枚举